Mathematische Visualisierung
Vektoren, Trigonometrie, Graphen, Fourier-Reihen, numerische Verfahren und Fraktale
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Spektrogramm und STFT
Eine gefensterte DFT gleitet über das Signal: Chirps, zwei Töne, Impulse. Fensterlänge M, Schritt und Fenstertyp bestimmen den Zeit-Frequ…
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Morlet-Wavelet
Kontinuierliche Wavelet-Transformation mit dem komplexen Morlet-Wavelet: Skalogramm |W(s,t)|, logarithmische Frequenzachse, Einflusskegel…
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IIR-Filter nach Butterworth und Tschebyscheff
Entwurf von Tief- und Hochpass nach Butterworth und Tschebyscheff I/II: |H(f)|, Phase, Impulsantwort und Pole–Nullstellen in der z-Ebene…
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Kalman-Filter (1D)
Rekursive optimale Schätzung: verrauschte Messungen, verborgene Wahrheit, Prädiktion und Korrektur mit Q und R; Zufallsbewegung oder kons…
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Kalman-Filter: 2D-Verfolgung
Vierdimensionaler Filter konstanter Geschwindigkeit: verrauschte Messungen (x,y), Beschleunigungsrauschen Q, Messvarianz R und mitlaufend…
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Lattice-Boltzmann-Verfahren (D2Q9)
D2Q9-Schema mit BGK-Relaxation: Kavität mit bewegtem Deckel oder Umströmung eines Zylinders, Farbe nach Wirbelstärke, Reynolds-Zahl und R…
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Finite-Volumen-Verfahren: Advektion und Diffusion
Konservativer Transport eines Skalars auf einem 2D-Gitter: Flüsse über die Zellflächen, Upwind- oder Zentralinterpolation, Péclet-Zahl, C…
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Verfahren der konjugierten Gradienten
S.p.d.-System Ax=b als Minimierung der quadratischen Form: Niveaulinien, konjugierte Gradienten gegen steilsten Abstieg, Residuumsnorm un…
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Potenzmethode: Konvergenz des Eigenwerts
Konvergenz zum dominanten Eigenvektor: Verhältnis der spektralen Lücke, Rayleigh-Quotient, Residuum und normierte Iterationen.
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Newton-Raphson-Einzugsgebiete
Karte der Einzugsgebiete des Newton-Raphson-Verfahrens für F(x, y) = 0: Abhängigkeit von der Anfangsnäherung, Iterationszahl, Anziehung d…
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Monte-Carlo-Integration und Varianzreduktion
Gewöhnliches Monte-Carlo-Verfahren, Stichprobe nach Wichtigkeit und Schichtung für ∫f(x) dx: Konvergenzkurven, Standardfehler und die Rat…
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Geometrie der Hauptkomponentenanalyse (PCA) / SVD
Kovarianzellipse und Dimensionsreduktion über die Singulärwertzerlegung: Hauptkomponenten, erklärte Varianz und Rekonstruktionsfehler vom…
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Optimierer des Gradientenverfahrens
Vergleich von SGD, Momentum und Adam auf einem zweidimensionalen Relief der Verlustfunktion: Schrittweite, Krümmung, Stabilität und Itera…
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EM-Algorithmus: Gauß-Mischung
Algorithmus der Erwartungsmaximierung für zwei Gauß-Komponenten: Verantwortlichkeiten, E- und M-Schritt, Likelihood und Kovarianzellipsen.
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Support-Vektor-Maschine: Rand
Harter und weicher Rand: Strafterm C, Hinge-Verlust, Stützvektoren, Entscheidungsgrenze und Randstreifen.
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Bayes-Aktualisierung: konjugierte Prior
Beta-Binomial-Aktualisierung: Kurven der A-priori- und A-posteriori-Verteilung, A-posteriori-Prädiktivwahrscheinlichkeit und Glaubwürdigk…
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Mischung einer Markov-Kette
Kette mit drei Zuständen: Übergangsmatrix, stationäre Verteilung, Abstand in Totalvariation, detailliertes Gleichgewicht und spektrale Lü…
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Adaptives Filter LMS / NLMS
Primärkanal p = s + v, wobei v ein unbekanntes FIR des weißen Referenzrauschens x[n] ist. Adaptives FIR mit L Abgriffen nach LMS oder NLM…
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DCT und JPEG-Quantisierung
Blöcke 8×8: DCT, Verschiebung −128, JPEG-Luminanz-Quantisierungstabelle oder Kappung der Koeffizienten im Zickzack; Vergleich vorher/nach…
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Phasenregelschleife (PLL)
Diskretes Modell: Phasendetektor e = K_d sin(φ_ref − φ_VCO), PI-Schleifenfilter, ω_VCO = ω_fr + K_v u; Frequenzsprung der Referenz — Einr…
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ΔΣ-Modulator (1 Bit)
Diskrete ΔΣ 1. und 2. Ordnung mit Quantisierung ±1: Rauschformung, Sinus am Eingang, gleitender Mittelwert als Lehr-Tiefpassrekonstruktio…
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Polyphasige Abtastratenwandlung L/M
Einfügen von L−1 Nullen, FIR-Tiefpass auf der hohen Rate mit ω_c ≈ min(π/L, π/M), dann Dezimierung ↓M; Spektren vorher und nachher sowie…
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Mandelbrot-Menge
Tiefe Vergrößerung der Mandelbrot-Menge: Ziehen und Mausrad, stetige Einfärbung und benannte Orientierungspunkte.
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Julia-Menge
Parameter c über die Miniatur-Mandelbrot-Menge oder Animation auf einem Kreis; Fatou-Staub gegen zusammenhängende Mengen.
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Newton-Fraktal
Einzugsgebiete der Newton-Iteration für zⁿ − 1 mit Relaxationsparameter ω.
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Newton-Verfahren (1D)
Graph von f(x), Klick setzt x₀, Iterationen x − f/f′ (Ableitung numerisch); Verschieben und Vorlagen. Einzugsgebiete auf ℂ — gesonderte D…
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Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta
Absolute Stabilität in der Ebene z = hλ für explizites Euler-Verfahren, RK2 und RK4: λ und h, Vergleich von |R(z)| und die Beschränkung d…
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Wärmeleitungsgleichung: finite Differenzen
Eindimensionales u_t = αu_xx: explizites FTCS und implizites Euler-Verfahren rückwärts; r = αΔt/Δx², Explosion des expliziten Verfahrens…
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Advektionsschemata: Upwind / LW / MacCormack
Linearer Transport u_t + c u_x = 0 auf periodischem Gitter: Diffusion des Upwind-Verfahrens, Dispersionsschwingungen von Lax-Wendroff und…
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FEM: Poisson-Gleichung (2D)
Dreieckige P1-Elemente für −Δu = f auf dem Quadrat: Aufbau der Steifigkeitsmatrizen, festgehaltene Dirichlet-Knoten oder natürlicher Neum…
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Mehrgitter-Relaxation
Fehlerdynamik der eindimensionalen Poisson-Gleichung: Jacobi und Gauß–Seidel glätten hohe Frequenzen, der V-Zyklus nimmt niedrige Moden r…
- NeuHochschule / Forschung
Gauß-Prozess: Regression
Regression mit einem Gauß-Prozess zu RBF- und Matérn-Kernen: Korrelationslänge und Rauschen, Beobachtungen per Klick, a-posteriori-Mittel…
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Rössler-Attraktor
Integration der Gleichung ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) mit Runge–Kutta vierter Ordnung; Periodenverdopplungskaskade bei wachs…
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L-Systeme
Zeichenkettenersetzung nach Lindenmayer und Schildkrötengrafik: Koch-Kurve, Sierpiński-Dreieck, Hilbert-Kurve, Heighway-Drache, Pflanze.
- NeuSchule
Bézier-Kurven und de Casteljau
Kontrollpunkte legen die Bézier-Kurve fest; der Algorithmus von de Casteljau baut B(t) durch geschachtelte lineare Interpolation.
- NeuSchule
Konvexe Hülle (Graham und QuickHull)
Punkte in der Ebene: Graham-Scan mit Schrittanimation oder QuickHull; Vergleich der Knotenmengen.
- NeuSchule
Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm
Bowyer–Watson-Triangulation und duales Voronoi-Diagramm: ein Klick ergänzt Standorte, Ziehen verschiebt sie.
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Schleimpilz Physarum (Agenten)
Etwa 4500 Agenten folgen einem abgelegten Chemoattraktor: Ablagerung, Diffusion, Zerfall und drei Sensorstrahlen — Selbstorganisation zu…
- NeuSchule
Savitzky-Golay-Glättung
Verrauschter Kosinus und Faltung SG(7,2): das Polynomfilter erhält Peaks besser als ein breites Rechteckfenster.
- NeuSchule
Markov-Kette (Wetter)
Kette mit zwei Zuständen „Sonne / Regen“: Übergangsmatrix P, stationäre Verteilung π, empirischer Anteil und Theorie.
- NeuSchule
Gradientenverfahren (2D)
Niveaulinien von f(x, y) und Bahn (x, y) ← (x, y) − η∇f; Schale oder elliptische Mulde.
- NeuHochschule / Forschung
Minkowski-Diagramm
Ebene (x, ct): Lichtkegel x = ±ct und geneigte Achsen des bewegten Systems; γ = 1/√(1 − v²/c²).
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Zwillingsparadoxon
Weltlinien „hin und zurück“: Eigenzeit des Reisenden τ = T/γ gegen die Erdzeit T.
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Monte-Carlo-Schätzung von π
Gleichverteilte Zufallspunkte im Quadrat; Schätzung π ≈ 4·(Punkte im Kreis)/N.
- NeuSchule
Zufallsbewegung
Schritte auf der Geraden oder in der Ebene: Bahn und laufendes Mittel ⟨r²⟩ als Vorstufe der Diffusion.
- NeuSchule
Irrfahrt auf dem Gitter (2D / 3D)
Nächste Nachbarn auf Z² oder Z³: Ensemble-Mittel ⟨r²⟩ mit der Vergleichsgeraden y = t, Histogramm von r² und Schätzung der ersten Rückkeh…
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Vektoraddition
Zwei Vektoren in der Ebene: Dreiecksregel und Komponentenaddition, Betrag und Richtung der Resultierenden.
- BeliebtSchule
Einheitskreis
Einheitskreis: sin θ, cos θ und tan θ als Koordinaten und Verhältnis, während der Punkt wandert.
- Kinder
Funktionsgraph
Graph von y = f(x): Ausdruck eingeben, horizontalen Maßstab und Verschiebung des Fensters wählen.
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Fourier-Reihen
Eine periodische Funktion wird in eine Summe von Harmonischen zerlegt — Sinus und Kosinus ganzzahliger Vielfacher der Grundfrequenz. Ände…
- NeuSchule
FFT-Spektrum
Zeichnen oder wählen Sie eine Vorlage mit 256 Abtastwerten; FFT zur Basis 2 — |X[k]| über die Bins vom Gleichanteil bis zur Nyquist-Frequ…
- NeuHochschule / Forschung
Phasenportrait (2D-DGL)
Richtungsfeld und Trajektorien per Klick: harmonisch, gedämpft, Sattel, Knoten, Strudel, Pendel (RK4).
- Schule
Lissajous-Figuren
Zwei harmonische Schwingungen auf zueinander senkrechten Achsen: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Ein ganzzahliges Frequenzverhältnis er…
- NeuKinder
Harmonograph
Auf den Achsen x und y stehen Summen zweier gedämpfter Harmonischer. Bei kleiner Dämpfung Lissajous-Figuren; bei merklicher Dämpfung eine…
- NeuKinder
Spirograph (Trochoiden)
Hypotrochoide oder Epitrochoide: fester Radius R, rollendes r, Stift im Abstand d. Farbige Spur und Hinweis auf die Periode.
- NeuKinder
Sortieralgorithmen
Bubblesort, Insertionsort, Mergesort, Quicksort und Heapsort auf derselben Permutation — fünf Balkenreihen schreiten synchron.
- NeuSchule
SIR-Epidemiemodell
S + I + R = 1: βSI und γI; ℛ₀ ≈ β/γ, Schwelle der Herdenimmunität 1 − 1/ℛ₀; Zeitverlauf mit RK4.
- NeuSchule
SEIR / SEIRS: Epidemie
S + E + I + R = 1: Latenz σE verzögert die Infektiosität, Genesung γI; optional ωR → S; ℛ₀ = β/γ; Zeitverlauf mit RK4.
- NeuHochschule / Forschung
Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)
x→y→z, funktionelle Reaktionen nach Holling II, logistisches x; Chaos bei Variation von b₁; RK4, Phasenebenen.
- NeuSchule
Tumorwachstum (Gompertz / logistisch)
V(t)→K: Gompertz oder logistisch; Chemotherapie −kV; RK4, Vergleich mit der Kurve ohne Behandlung.
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Keller-Segel-Chemotaxis
n folgt dem Gradienten von c; Sekretion αn, Zerfall βc; Kollaps bei großem χ; Gitter 96².
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MinD/MinE-Oszillationen (E. coli)
Eindimensionale Reaktion–Diffusion auf einem Stab; Schwingungen von Pol zu Pol; Teilungsebene im Minimum des gemittelten MinD.
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Sandhaufen nach Bak-Tang-Wiesenfeld
Abelsches Modell: Körner hinzu, bei Höhe ≥ 4 Abrutschen auf die Nachbarn. Lawinen ohne Anpassung der Schwelle — selbstorganisierte Kritik…
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Teilchen im Strömungsfeld
Synthetisches Feld v(x, y, t); Transport mit periodischen Rändern; optional ein Pfeilgitter.
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Fraktale: Mandelbrot, Julia, Koch
Mandelbrot-Menge, Julia-Menge und Koch-Schneeflocke. Iterationen z ← z² + c, Maßstab mit dem Mausrad.
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Spiel des Lebens
Regeln B3/S23 auf dem Torus: Zellen zeichnen, starten, Schritt — Gleiter, LWSS, Gosper-Kanone, Pulsar.
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Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort
Aus gegebenem a(t) entstehen v(t) und x(t): die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung, der Ort das Integral der Geschwindig…
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Taylor-Reihe
Vergleichen Sie sin, cos oder exp mit dem Taylor-Polynom der Ordnung n in der Umgebung der Stelle a.
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Komplexer Zeiger
Punkt e^{i(ωt+φ)} auf dem Einheitskreis; Projektionen Re, Im und Phase φ.
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Chaos-Spiel (Sierpiński-Dreieck)
Zufällige Wahl einer Dreiecksecke und Schritt zur Streckenmitte: die Punktewolke läuft auf das Sierpiński-Dreieck zu. Die Farbe nach gewä…
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Lagrange-Interpolation und kubischer Spline
Knoten per Klick: Lagrange-Polynom gegen natürlichen kubischen Spline. Die Runge-Vorlage zeigt Randoszillationen hoher Ordnung.
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Methode der kleinsten Quadrate
Verrauschte Punkte und die Gerade y = ax + b, die die Summe der quadrierten vertikalen Residuen minimiert. Ändern Sie Steigung, Achsenabs…
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Lineare Regression: KQ, Ridge, Lasso und R²
Punkte in der Ebene und das Modell y = β₀ + β₁x: gewöhnliche kleinste Quadrate, Ridge (L₂-Strafterm nur auf die Steigung) oder Lasso (L₁-…
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k-Means (Lloyd-Algorithmus)
Punkte in der Ebene, Clusterzahl k und Startzentroide. Lloyd-Schritt: Zuordnung zum nächsten Zentrum und Verschiebung des Zentroids in de…
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DBSCAN: dichtebasierte Clusteranalyse
Radius ε und Schwelle minPts: Kern, Rand und Rauschen. Cluster beliebiger Form ohne vorgegebenes k; um Kerne lassen sich ε-Kreise zeigen.
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Hauptkomponentenanalyse (PCA) in 2D
Wolke in der Ebene: 2×2-Kovarianz, Eigenvektoren PC1 und PC2 vom Mittelwert, Lote auf die PC1-Gerade und Streifen der Scores auf der erst…
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Entscheidungsbaum (2D)
Gierige achsenparallele Schnitte in der Ebene mit zwei Klassen: Gini-Index oder Entropie, Tiefe und Mindestzahl von Punkten im Blatt. Rec…
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Zweischichtiges Netz und Backpropagation
Zwei Merkmale und eine binäre Klasse: verdeckte Schicht mit tanh und logistischer Ausgang. Vollständiger Gradient zur mittleren binären K…
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Faltung rechteckiger Impulse
Zwei Rechteckimpulse der Höhe 1: die Faltung (f∗g)(τ) ist die Überlappungsfläche bei der Verschiebung τ. Bei τ = 0 steht auf dem Schirm d…
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Euler und RK4 (mathematisches Pendel)
Eine nichtlineare Gleichung des mathematischen Pendels und eine Schrittweite h: explizites Euler-Verfahren neben dem Runge-Kutta-Verfahre…
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Lotka-Volterra
Klassisches Räuber-Beute-Modell: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Phasenebene, Integration nach Runge-Kutta, Gleichgewichtspunkt (γ/δ, α/β).
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Logistisches Wachstum
Logistische Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K): S-Kurve und Einlauf auf die Umweltkapazität K. Der Graph ist die exakte Lösung, kein Euler-Sch…
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Bifurkationen der logistischen Abbildung
Abbildung xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ): waagerecht der Parameter r, senkrecht die Werte auf dem Attraktor. Sichtbar sind Periodenverdopplung und C…
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2×2-Matrix und Eigenvektoren
Lineare Abbildung der Ebene durch die Matrix M: das quadratische Gitter wird zum Parallelogrammgitter. Bei reellen λ stehen Pfeile längs…
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Lorenz-Attraktor
Lorenz-System mit den Parametern σ, ρ, β: seltsamer Attraktor als „Schmetterling“ in der Projektion (x, z). Integration nach Runge-Kutta,…