Warum kann man nicht sagen, die Erde sei fortgeflogen und zurückgekehrt?

Der Reisende beschleunigt an der Umkehr und spürt das; die Postulate der SRT zur Symmetrie der Zeitdilatation gelten für Inertialsysteme. Die Erde bleibt in dieser Aufgabe inertial.

Ist die Beschleunigung in der Eigenzeit berücksichtigt?

Die Umkehr gilt als instantan. Gezählt werden zwei Abschnitte konstanter Geschwindigkeit, wo τ = ∫ dt/γ. Bei realistischen Beschleunigungen ist der Beitrag der Umkehr klein gegen den langen Reiseflug.

Ist das nur ein Gedankenexperiment?

Die Zeitdilatation ist geprüft: Uhren im Hafele-Keating-Experiment in Flugzeugen, Teilchenstrahlen in Beschleunigern, Korrekturen im GPS. Einen vollen „Zwillingsflug“ zu einem Stern hat man nicht unternommen, die Formel der Eigenzeit ist dieselbe.

Was ist die Eigenzeit?

Die Zeit einer Uhr, die längs der gegebenen Weltlinie mitfährt. Sie ist invariant: alle Beobachter stimmen im Wert τ für diesen Weg überein. Das „Paradoxon“ liegt darin, dass zwei Weltlinien zwischen Trennung und Wiedersehen verschiedene „Längen“ τ haben.

Zwillingsparadoxon

Weltlinien „hin und zurück“: Eigenzeit des Reisenden τ = T/γ gegen die Erdzeit T.

Zum Modell

Das Zwillingsparadoxon: einer bleibt auf der Erde, der andere fliegt mit der Geschwindigkeit v fort und kehrt zurück. Die scheinbare Symmetrie („jeder sieht die Uhren des anderen nachgehen“) bricht, weil die Weltlinie des Reisenden nicht inertial ist: an der Umkehr beschleunigt er. Im Raumzeitdiagramm im Erdsystem geht der Erdzwilling senkrecht, der Reisende auf einem Knick „hin–zurück“. Die Eigenzeit längs der Weltlinie ist τ = ∫√(1 − v²/c²) dt. Für den ruhenden Zwilling ist das die Koordinatenzeit T; für die zwei inertialen Flugschenkel gilt τ = T/γ, γ = 1/√(1 − v²/c²). Die Beschleunigung an der Umkehr gilt als instantan: der Beitrag der Beschleunigungsphasen ist klein gegen die Reisestrecken. Wenn Sie v und die Wartezeit T ändern, vergleichen Sie τ und T.

Für wen: Spezielle Relativitätstheorie: Eigenzeit, Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon.

Wichtige Begriffe

zwillingsparadoxon
eigenzeit
zeitdilatation
weltlinie
lorentz-faktor
inertialsystem
raumzeitdiagramm

So funktioniert es

Im Raumzeitdiagramm geht der Erdzwilling senkrecht, der Reisende auf einem Knick „hin–zurück“. Die Eigenzeit auf den zwei inertialen Schenkeln ist τ = T/γ. Die Umkehr ist beschleunigt: die Symmetrie der Inertialsysteme hält nicht, jünger kehrt derjenige zurück, der umgekehrt hat.

Häufige Fragen

Warum kann man nicht sagen, die Erde sei fortgeflogen und zurückgekehrt?: Der Reisende beschleunigt an der Umkehr und spürt das; die Postulate der SRT zur Symmetrie der Zeitdilatation gelten für Inertialsysteme. Die Erde bleibt in dieser Aufgabe inertial.
Ist die Beschleunigung in der Eigenzeit berücksichtigt?: Die Umkehr gilt als instantan. Gezählt werden zwei Abschnitte konstanter Geschwindigkeit, wo τ = ∫ dt/γ. Bei realistischen Beschleunigungen ist der Beitrag der Umkehr klein gegen den langen Reiseflug.
Ist das nur ein Gedankenexperiment?: Die Zeitdilatation ist geprüft: Uhren im Hafele-Keating-Experiment in Flugzeugen, Teilchenstrahlen in Beschleunigern, Korrekturen im GPS. Einen vollen „Zwillingsflug“ zu einem Stern hat man nicht unternommen, die Formel der Eigenzeit ist dieselbe.
Was ist die Eigenzeit?: Die Zeit einer Uhr, die längs der gegebenen Weltlinie mitfährt. Sie ist invariant: alle Beobachter stimmen im Wert τ für diesen Weg überein. Das „Paradoxon“ liegt darin, dass zwei Weltlinien zwischen Trennung und Wiedersehen verschiedene „Längen“ τ haben.

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