Wann schließt sich das Muster zu einer endlichen Rosette?

Wenn das Verhältnis R/r rational ist. Dann kehrt der Stift nach endlich vielen Umläufen mit derselben Phase in den Ausgangspunkt zurück. Die Zahl der Blätter hängt davon ab, wie viele Umläufe bis zur ersten Wiederholung nötig sind.

Worin unterscheidet sich die Hypotrochoide von der Epitrochoide?

Hypotrochoide: das kleine Rad rollt innen im festen Ring. Epitrochoide: außen. Die Parametergleichungen unterscheiden sich im Vorzeichen von R ± r, und die Formfamilien sind verschieden.

Was geschieht, wenn der Stiftabstand d gleich dem Radius r ist?

Der Stift liegt auf dem Rand des rollenden Kreises. Die Hypotrochoide wird zur Hypozykloide, die Epitrochoide zur Epizykloide: statt Schleifen erscheinen Spitzen (Rückkehrpunkte).

Spirograph (Trochoiden)

Hypotrochoide oder Epitrochoide: fester Radius R, rollendes r, Stift im Abstand d. Farbige Spur und Hinweis auf die Periode.

Zum Modell

Der Spirograph zeichnet eine Hypotrochoide oder eine Epitrochoide: der Stift sitzt im Abstand d vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius r, der ohne Schlupf auf einem festen Kreis mit Radius R rollt. Innen (Hypotrochoide): x = (R − r) cos t + d cos(((R − r)/r) t), y = (R − r) sin t − d sin(((R − r)/r) t). Außen (Epitrochoide) steht statt R − r die Summe R + r, die Vorzeichen beim Glied mit d wechseln. Bei d = r entstehen Hypozykloide und Epizykloide mit Spitzen. Die Kurve schließt sich, wenn das Radiusverhältnis rational ist: das rollende Rad kehrt nach endlich vielen Umläufen in denselben Punkt zurück. Reibung und Schlupf fehlen. Auf dem Schirm eine farbige Spur und ein Hinweis auf die Periode.

Für wen: Parametergleichungen und Kurven: Hypotrochoide, Epitrochoide, rationale Radiusverhältnisse.

Wichtige Begriffe

spirograph
hypotrochoide
epitrochoide
hypozykloide
parametergleichungen
rollen ohne schlupf

So funktioniert es

Der Stift sitzt im Abstand d vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius r, der ohne Schlupf innen oder außen auf dem festen Kreis R rollt. Das ist eine Hypotrochoide oder eine Epitrochoide. Rationales R/r gibt eine geschlossene Kurve; bei d = r entstehen die Spitzen der Zykloiden. Auf dem Schirm eine farbige Spur und ein Hinweis auf die Periode.

Häufige Fragen

Wann schließt sich das Muster zu einer endlichen Rosette?: Wenn das Verhältnis R/r rational ist. Dann kehrt der Stift nach endlich vielen Umläufen mit derselben Phase in den Ausgangspunkt zurück. Die Zahl der Blätter hängt davon ab, wie viele Umläufe bis zur ersten Wiederholung nötig sind.
Worin unterscheidet sich die Hypotrochoide von der Epitrochoide?: Hypotrochoide: das kleine Rad rollt innen im festen Ring. Epitrochoide: außen. Die Parametergleichungen unterscheiden sich im Vorzeichen von R ± r, und die Formfamilien sind verschieden.
Was geschieht, wenn der Stiftabstand d gleich dem Radius r ist?: Der Stift liegt auf dem Rand des rollenden Kreises. Die Hypotrochoide wird zur Hypozykloide, die Epitrochoide zur Epizykloide: statt Schleifen erscheinen Spitzen (Rückkehrpunkte).

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