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Startseite/Mathematische Visualisierung/Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)

Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)

x→y→z, funktionelle Reaktionen nach Holling II, logistisches x; Chaos bei Variation von b₁; RK4, Phasenebenen.

Parameter nach Hastings-Powell

3
5
0.1
2
0.4
0.01
0.1
0.1
0.1

Eine Änderung von b₁ gibt Gleichgewicht, Zyklen und einen chaotischen Attraktor. „Zurücksetzen“ führt einen kurzen Einlauf zur langfristigen Dynamik.

Tastenkürzel

  • •Leertaste oder Enter — Start / Pause
  • •R — Zurücksetzen mit Einlauf

Gemessene Größen

x (Ressource)0.1000
y (Pflanzenfresser)0.1000
z (Räuber)0.1000
Zeit t0.00

Zum Modell

Die Nahrungskette aus drei Arten nach Hastings und Powell (1991) ist eine dimensionslose dreigliedrige Kette: Ressource x, Konsument y, Spitzenräuber z. Die Ressource wächst logistisch: x′ = x(1−x); beide trophischen Glieder sind sättigende Reaktionen nach Holling II, fᵢ(u) = aᵢu/(1+bᵢu). Das volle System: x′ = x(1−x) − f₁(x)y, y′ = f₁(x)y − f₂(y)z − d₁y, z′ = f₂(y)z − d₂z. Anders als bei der Lotka-Volterra-Dynamik zweier Arten sind hier Gleichgewicht, Grenzzyklen und ein chaotischer Attraktor möglich — besonders bei Änderung von b₁ (Halbsättigung an der Ressource). Die langsame Dynamik des Spitzenräubers (d₂ ≪ d₁) gibt einen tassenförmigen Attraktor: Zusammenbruch von z → Anstieg von x und y → Wachstum von z → Zusammenbruch von y. Integration RK4; Chaos-Vorlage aus der Arbeit; Kurven x, y, z über der Zeit und Phasenebenen (y, z), (x, y); beim Zurücksetzen ein kurzer Einlauf zum Attraktor.

Für wen: Ökologie und dynamische Systeme: Chaos in der Nahrungskette nach Räuber-Beute-Modellen zweier Arten.

Wichtige Begriffe

  • nahrungskette
  • hastings-powell-modell
  • funktionelle reaktion holling II
  • chaotischer attraktor
  • trophische kaskade
  • räuber-beute
  • populationsdynamik

So funktioniert es

Kette x → y → z (Ressource, Pflanzenfresser, Räuber) nach Hastings und Powell (1991): x′ = x(1−x) − f₁(x)y, y′ = f₁(x)y − f₂(y)z − d₁y, z′ = f₂(y)z − d₂z, fᵢ(u)=aᵢu/(1+bᵢu). Bei d₁ ≫ d₂ und Variation von b₁ ist Chaos möglich — Zusammenbrüche von z, Ausbrüche von x, y, dann wieder Unterdrückung der Pflanzenfresser. RK4; Vorlage aus der Arbeit; Reihen über t oder Phase (y, z), (x, y).

Wichtige Gleichungen

x' = x(1−x) − f₁(x)y · y' = f₁(x)y − f₂(y)z − d₁y · z' = f₂(y)z − d₂z · fᵢ(u)=aᵢu/(1+bᵢu)

Häufige Fragen

Warum ist der Parameter b₁ wichtig?
b₁ setzt die Halbsättigung der Pflanzenfresser an der Ressource. In der Originalarbeit führt bei festen übrigen Koeffizienten eine Änderung von b₁ das System vom stabilen Gleichgewicht über Zyklen ins Chaos.
Was macht die Parametervorlage von 1991?
Sie setzt die dimensionslosen Koeffizienten aus Tabelle 1 der Arbeit mit b₁ = 3 im chaotischen Regime, die Anfangswerte (0,1; 0,1; 0,1) und integriert still einige hundert Schritte, damit auf dem Schirm die langfristige Dynamik näher liegt, nicht nur ein kurzer Einschwingvorgang.
Worin unterscheidet sich das von Lotka-Volterra?
Lotka-Volterra: zwei Populationen und geschlossene Bahnen in der Phasenebene. Hier drei Arten, logistische Ressource, Sättigung der Räuberei und Sterblichkeit der Konsumenten — genug Struktur für Chaos, das im klassischen Bild zweier Arten unmöglich ist.
Kann man damit ein reales Ökosystem vorhersagen?
Nein: ein dimensionsloses Lehrmodell ohne Raum, Altersklassen und Stochastik. Es zeigt die reiche Dynamik einer einfachen Kette, keine Prognose eines konkreten Bioms.