Was geschieht, wenn R viel kleiner als Q ist?

Das Filter vertraut den Messungen und klebt an den verrauschten Daten: das Band ±2σ schrumpft, die Schätzung zittert aber. Großes R wirkt umgekehrt — eine glatte, nachlaufende Spur, die dem Prozessmodell mehr glaubt als den Sensoren.

Was ist eine Innovation?

Die Innovation ist die Differenz zwischen der neuen Messung und dem, was die Prädiktion erwartet hat. Bei einem gut eingestellten linear-gaußschen Filter ähneln die Innovationen weißem Rauschen mit Mittelwert null; strukturierte Residuen deuten auf Modellabweichung.

Wozu Zufallsbewegung und konstante Geschwindigkeit?

Die Zufallsbewegung passt zu langsam driftenden Skalaren; konstante Geschwindigkeit fügt einen Geschwindigkeitszustand hinzu, damit das Filter zwischen den Messungen durch das Rauschen hindurchläuft. Ein falsches Bewegungsmodell verschiebt die Schätzung auch bei plausiblen Q und R.

Kalman-Filter (1D)

Rekursive optimale Schätzung: verrauschte Messungen, verborgene Wahrheit, Prädiktion und Korrektur mit Q und R; Zufallsbewegung oder konstante Geschwindigkeit, Band ±2σ und Innovationen.

Zum Modell

Der Kalman-Filter schätzt rekursiv einen verborgenen skalaren Zustand aus verrauschten Messungen. In jedem Schritt läuft die Prädiktion mit der Prozesskovarianz Q, danach wird die Schätzung mit der Messvarianz R über den Verstärkungsfaktor nachgezogen, der den mittleren quadratischen Fehler unter linear-gaußschen Annahmen minimiert. Auf dem Diagramm erscheinen die verborgene Wahrheit, die Messungen, die Schätzung, das Band ±2σ aus der Kovarianz P und die Innovationen (Residuen). Das Bewegungsmodell ist eine Zufallsbewegung oder konstante Geschwindigkeit. Idealisierungen: lineare Dynamik, weißes gaußsches Rauschen, ohne Ausreißer und nichtlineare Sensoren. Q und R bestimmen den Kompromiss aus Nachlauf und Zittern; bei einem konsistenten Filter ähneln die Innovationen weißem Rauschen.

Für wen: Schätzung, Regelung, Robotik, Signalverarbeitung: Einführung in den Kalman-Filter.

Wichtige Begriffe

kalman-filter
prozessrauschen q
messrauschen r
innovation
kovarianz
optimale schätzung

So funktioniert es

Prädiktion: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q. Korrektur: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ zieht die Schätzung zur Messung z. Auf dem Diagramm Wahrheit, verrauschte Punkte, Schätzung und Band ±2σ; darunter die Residuen. Zufallsbewegung oder konstante Geschwindigkeit; Q und R ändern Glätte und Nachlauf.

Wichtige Gleichungen

predict: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

update: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹

x̂ = x̂⁻ + K (z − H x̂⁻), P = (I − K H) P⁻

Häufige Fragen

Was geschieht, wenn R viel kleiner als Q ist?: Das Filter vertraut den Messungen und klebt an den verrauschten Daten: das Band ±2σ schrumpft, die Schätzung zittert aber. Großes R wirkt umgekehrt — eine glatte, nachlaufende Spur, die dem Prozessmodell mehr glaubt als den Sensoren.
Was ist eine Innovation?: Die Innovation ist die Differenz zwischen der neuen Messung und dem, was die Prädiktion erwartet hat. Bei einem gut eingestellten linear-gaußschen Filter ähneln die Innovationen weißem Rauschen mit Mittelwert null; strukturierte Residuen deuten auf Modellabweichung.
Wozu Zufallsbewegung und konstante Geschwindigkeit?: Die Zufallsbewegung passt zu langsam driftenden Skalaren; konstante Geschwindigkeit fügt einen Geschwindigkeitszustand hinzu, damit das Filter zwischen den Messungen durch das Rauschen hindurchläuft. Ein falsches Bewegungsmodell verschiebt die Schätzung auch bei plausiblen Q und R.

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