Was bedeuten die verschiedenen Farben der Mandelbrot-Menge?

Dunkle Punkte: die Bahn blieb in der erlaubten Schrittzahl beschränkt (Kandidat für die Menge). Die übrigen Farben: wie viele Iterationen nötig waren, bis |z| den Fluchtradius überschritt. Das ist eine Karte der Fluchtgeschwindigkeit, keine „Höhe“ der Menge.

Worin unterscheidet sich die Julia-Menge von der Mandelbrot-Menge?

Dieselbe Gleichung z ← z² + c, andere Rollen. Mandelbrot: z₀ = 0, c läuft über die Ebene. Julia: c ist fest, z₀ läuft über die Ebene. Ein Punkt c innerhalb der Mandelbrot-Menge liefert eine zusammenhängende Julia-Menge; außerhalb entsteht „Staub“.

Warum ist der Umfang der Koch-Schneeflocke unendlich, die Fläche aber nicht?

In jedem Schritt ersetzt man jedes Segment durch vier Stücke der Länge 1/3: der Umfang wird mit 4/3 multipliziert und wächst ohne Grenze. Die hinzukommenden Dreiecke werden schnell kleiner, daher konvergiert die Fläche.

Fraktale: Mandelbrot, Julia, Koch

Mandelbrot-Menge, Julia-Menge und Koch-Schneeflocke. Iterationen z ← z² + c, Maßstab mit dem Mausrad.

Zum Modell

Fraktale wie die Mandelbrot-Menge und die Julia-Mengen entstehen durch die Iteration z_{n+1} = z_n² + c in der komplexen Ebene. Bei Mandelbrot ist c der Punkt der Ebene, z₀ = 0; der Punkt gehört zur Menge, wenn die Bahn beschränkt bleibt. Bei Julia ist der Parameter c fest, das Start-z₀ ändert sich. Die Farbe ist die Anzahl der Iterationen bis |z| > R (Fluchtzeit); dunkel — die Bahn ist in der erlaubten Schrittzahl nicht entkommen. Die Koch-Schneeflocke ist eine andere Konstruktion: jedes Segment wird durch einen Streckenzug aus vier Gliedern ersetzt, der Umfang wächst, die Fläche bleibt endlich. Iterationszahl und Fluchtradius sind endlich — das ist eine Näherung der echten Grenze. Die Ansicht verschieben Sie mit der Maus, den Maßstab mit dem Mausrad; bei Koch ändert sich die Rekursionstiefe.

Für wen: Komplexe Zahlen und dynamische Systeme: Iterationen, Beschränktheit der Bahn, Selbstähnlichkeit.

Wichtige Begriffe

mandelbrot-menge
julia-menge
koch-schneeflocke
komplexe zahl
iteration
fluchtzeit
selbstähnlichkeit

So funktioniert es

Mandelbrot: z₀ = 0, c läuft über das Pixel, z ← z² + c. Julia: c ist fest, z₀ ist das Pixel. Die Farbe ist die Schrittzahl bis zum Überschreiten des Radius R. Die Koch-Schneeflocke entsteht durch Ersetzen jedes Segments durch einen Streckenzug; die Rekursionstiefe setzt die Detailtiefe. Ziehen verschiebt die Ansicht, das Mausrad ändert den Maßstab.

Wichtige Gleichungen

Mandelbrot: z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + c (c über die Ebene)

Julia: c fest, z₀ = Pixel, zₙ₊₁ = zₙ² + c

Häufige Fragen

Was bedeuten die verschiedenen Farben der Mandelbrot-Menge?: Dunkle Punkte: die Bahn blieb in der erlaubten Schrittzahl beschränkt (Kandidat für die Menge). Die übrigen Farben: wie viele Iterationen nötig waren, bis |z| den Fluchtradius überschritt. Das ist eine Karte der Fluchtgeschwindigkeit, keine „Höhe“ der Menge.
Worin unterscheidet sich die Julia-Menge von der Mandelbrot-Menge?: Dieselbe Gleichung z ← z² + c, andere Rollen. Mandelbrot: z₀ = 0, c läuft über die Ebene. Julia: c ist fest, z₀ läuft über die Ebene. Ein Punkt c innerhalb der Mandelbrot-Menge liefert eine zusammenhängende Julia-Menge; außerhalb entsteht „Staub“.
Warum ist der Umfang der Koch-Schneeflocke unendlich, die Fläche aber nicht?: In jedem Schritt ersetzt man jedes Segment durch vier Stücke der Länge 1/3: der Umfang wird mit 4/3 multipliziert und wächst ohne Grenze. Die hinzukommenden Dreiecke werden schnell kleiner, daher konvergiert die Fläche.

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