Warum berechnet das Finite-Volumen-Verfahren die Flüsse über die Flächen?

Der integrale Erhaltungssatz sagt: der Mittelwert in der Zelle ändert sich durch den Fluss über ihre Ränder. Numerische Flächenflüsse machen die Erhaltung lokal und explizit.

Warum können zentrale Differenzen oszillieren?

Wenn die Advektion die Diffusion überwiegt, ist die Gitter-Péclet-Zahl groß, und die Zentralinterpolation dämpft zu wenig. Das Upwind-Verfahren nimmt den stromaufwärtigen Wert und stabilisiert den Transport auf Kosten zusätzlicher Diffusion.

Was steuert die CFL-Zahl?

Die Courant-Friedrichs-Lewy-Zahl verknüpft Zeitschritt, Gitterweite und Geschwindigkeit: ein zu großer Schritt macht das explizite Schema instabil. Auf dem Schirm steht CFL neben Δt.

Finite-Volumen-Verfahren: Advektion und Diffusion

Konservativer Transport eines Skalars auf einem 2D-Gitter: Flüsse über die Zellflächen, Upwind- oder Zentralinterpolation, Péclet-Zahl, CFL und numerische Diffusion.

Die Demonstration verwendet periodische Ränder und einen expliziten Zeitschritt aus einfachen CFL- und Diffusionsgrenzen. Zentrale Differenzen können bei hoher Péclet-Zahl schwingen, Upwind bleibt beschränkter, ist aber diffuser.

Diagramme

Zum Modell

Advektion und Diffusion eines Skalars auf dem Gitter schreibt man als Bilanz der Flüsse über die Flächen des Kontrollvolumens. Gelöst wird die Gleichung ∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ) auf einem periodischen zweidimensionalen Gitter; die Flüsse werden an der östlichen, westlichen, nördlichen und südlichen Fläche berechnet. Das Upwind-Verfahren ist dissipativer, hält aber die Beschränktheit besser; zentrale Differenzen sind schärfer, können aber bei großer Gitter-Péclet-Zahl oszillieren. Auf dem Schirm: das Skalarfeld, der Geschwindigkeitsvektor, Beispiele der Flüsse, Courant- und Péclet-Zahl. Verändert werden |u|, die Richtung, der Diffusionskoeffizient Γ und die Wahl des Verfahrens.

Für wen: Wissenschaftliches Rechnen, numerische Strömungsmechanik, numerische partielle Differentialgleichungen und Transportvorgänge.

Wichtige Begriffe

finite-volumen-verfahren
flächenfluss
upwind-verfahren
zentrale differenzen
péclet-zahl
courant-zahl

So funktioniert es

Das Finite-Volumen-Verfahren speichert den Mittelwert φ in jeder Zelle und aktualisiert ihn durch die Bilanz der Flüsse über die Flächen: ∂φ/∂t + ∇·(uφ)=∇·(Γ∇φ). An der Fläche braucht man φ_f: das Upwind-Verfahren nimmt den stromaufwärtigen Wert und ist stabil, verschmiert aber die Lösung; das zentrale Schema mittelt die Nachbarzellen und liefert ein schärferes Profil, kann aber bei großem Pe=|u|Δx/Γ oszillieren. Auf dem Schirm sieht man das Skalarfeld, die Flächenflüsse, CFL und die Péclet-Zahl.

Wichtige Gleichungen

∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ), Integral über jedes Kontrollvolumen

Flächenfluss: F_e φ_e − Γ(φ_E−φ_P)/Δx; Pe = |u|Δx/Γ

Häufige Fragen

Warum berechnet das Finite-Volumen-Verfahren die Flüsse über die Flächen?: Der integrale Erhaltungssatz sagt: der Mittelwert in der Zelle ändert sich durch den Fluss über ihre Ränder. Numerische Flächenflüsse machen die Erhaltung lokal und explizit.
Warum können zentrale Differenzen oszillieren?: Wenn die Advektion die Diffusion überwiegt, ist die Gitter-Péclet-Zahl groß, und die Zentralinterpolation dämpft zu wenig. Das Upwind-Verfahren nimmt den stromaufwärtigen Wert und stabilisiert den Transport auf Kosten zusätzlicher Diffusion.
Was steuert die CFL-Zahl?: Die Courant-Friedrichs-Lewy-Zahl verknüpft Zeitschritt, Gitterweite und Geschwindigkeit: ein zu großer Schritt macht das explizite Schema instabil. Auf dem Schirm steht CFL neben Δt.

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