Warum bleibt ℛ₀ gleich β/γ, obwohl es E gibt?

Aus E gibt es nur einen Ausgang — den Übergang nach I mit Intensität σ. Jeder Infizierte wird am Ende infektiös und verbringt in I die mittlere Zeit 1/γ; bei S ≈ 1 ist die erwartete Zahl der Sekundärfälle β/γ. Ein kleines σ schiebt den Ausbruch hinaus, entfernt aus der Kette aber keine Fälle.

Wie ändert E die Ausbruchskurve?

I speist sich aus E, nicht unmittelbar aus neuen Infektionen, daher verzögert sich der Anstieg von I(t): das Maximum der Infektiösen wandert gegenüber SIR bei gleichem ℛ₀ in der Regel nach rechts.

Wozu der SEIRS-Modus und der Parameter ω?

Bei ω > 0 werden Genesene wieder empfänglich; das Bild „eine Welle und Herdenimmunität für immer“ gilt nicht. Die gestrichelte Linie 1 − 1/ℛ₀ ist in SEIRS ausgeblendet: die Schwelle wurde bei bleibender Immunität gerechnet.

Warum renormiert man S + E + I + R nach dem RK4-Schritt?

Die numerische Integration gibt eine kleine Drift der Anteilssumme; die Division durch die Summe hält den Zustand auf dem Simplex, ohne die Dynamik beim verwendeten Schritt merklich zu verzerren.

SEIR / SEIRS: Epidemie

S + E + I + R = 1: Latenz σE verzögert die Infektiosität, Genesung γI; optional ωR → S; ℛ₀ = β/γ; Zeitverlauf mit RK4.

Zum Modell

SEIR / SEIRS: Epidemie mit Latenz. Das SEIR-Modell erweitert SIR um das Kompartiment E (Exponierte, noch nicht infektiös): die Infektion βSI führt nach E, dann mit Intensität σ der Übergang nach I, die Genesung γI → R. Normierung S + E + I + R = 1. Die Variante SEIRS fügt den Verlust der Immunität ωR → S hinzu; das kann Endemie oder wiederholte Wellen geben. In dieser Fassung gibt es aus E keine Verluste außer dem Übergang nach I, daher ℛ₀ = β/γ: der Parameter σ ändert die Verzögerung und die Form des Maximums, nicht die Invasionsschwelle. Integration RK4, Renormierung nach dem Schritt, Kurven S, E, I, R, Marke des Maximums von I; die gestrichelte Linie 1 − 1/ℛ₀ nur im SEIR-Modus (ω = 0). Geburten und Tode, Saisonalität, Raum und Stochastik fehlen — ein Lehrmodell von Latenz und nachlassender Immunität.

Für wen: Mathematische Epidemiologie und DGL-Kurs: Latenzzeit und wiederholte Ausbrüche bei ω > 0 nach SIR.

Wichtige Begriffe

seir-modell
seirs-modell
latenzzeit
kompartiment E (exponierte)
nachlassende immunität
basisreproduktionszahl ℛ₀
runge-kutta-verfahren

So funktioniert es

SEIR fügt Exponierte E hinzu: die Infektion βSI führt nach E, der Übergang σE → I, die Genesung γI → R. Aus E gibt es keine Verluste außer dem Übergang nach I, daher ℛ₀ = β/γ, und σ setzt die Verzögerung des Maximums. SEIRS führt Empfängliche mit dem Strom ωR → S zurück — Endemie und wiederholte Wellen sind möglich. Integrator RK4 mit Renormierung S+E+I+R; im Diagramm vier Anteile und das Maximum von I(t).

Wichtige Gleichungen

S' = −βSI + ωR · E' = βSI − σE · I' = σE − γI · R' = γI − ωR

Häufige Fragen

Warum bleibt ℛ₀ gleich β/γ, obwohl es E gibt?: Aus E gibt es nur einen Ausgang — den Übergang nach I mit Intensität σ. Jeder Infizierte wird am Ende infektiös und verbringt in I die mittlere Zeit 1/γ; bei S ≈ 1 ist die erwartete Zahl der Sekundärfälle β/γ. Ein kleines σ schiebt den Ausbruch hinaus, entfernt aus der Kette aber keine Fälle.
Wie ändert E die Ausbruchskurve?: I speist sich aus E, nicht unmittelbar aus neuen Infektionen, daher verzögert sich der Anstieg von I(t): das Maximum der Infektiösen wandert gegenüber SIR bei gleichem ℛ₀ in der Regel nach rechts.
Wozu der SEIRS-Modus und der Parameter ω?: Bei ω > 0 werden Genesene wieder empfänglich; das Bild „eine Welle und Herdenimmunität für immer“ gilt nicht. Die gestrichelte Linie 1 − 1/ℛ₀ ist in SEIRS ausgeblendet: die Schwelle wurde bei bleibender Immunität gerechnet.
Warum renormiert man S + E + I + R nach dem RK4-Schritt?: Die numerische Integration gibt eine kleine Drift der Anteilssumme; die Division durch die Summe hält den Zustand auf dem Simplex, ohne die Dynamik beim verwendeten Schritt merklich zu verzerren.

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