Warum verwendet das Lattice-Boltzmann-Verfahren Verteilungsfunktionen statt der Geschwindigkeit selbst?

Das Schema entwickelt Besetzungszahlen längs der diskreten Gitterrichtungen. Makroskopische Dichte und Geschwindigkeit sind Momente dieser Besetzungen, daher bleibt der Transport lokal, und Ränder lassen sich bequem durch Reflexion vorgeben.

Was steuert die Relaxationszeit τ?

Für D2Q9 mit BGK gilt in Gittereinheiten ν = (τ − 1/2)/3. Ein τ zu nahe bei 0,5 bedeutet sehr kleine Viskosität und kann zu numerischer Instabilität führen.

Worin unterscheiden sich die Kavität mit Deckel und die Zylinderumströmung?

In der Kavität erzeugt die obere Wand eine Scherung, innen bilden sich Wirbel. Bei der Zylinderumströmung sieht man Nachlauf und Ablösung, wenn die Reynolds-Zahl wächst. In beiden Fällen ist die Farbe die Wirbelstärke.

Lattice-Boltzmann-Verfahren (D2Q9)

D2Q9-Schema mit BGK-Relaxation: Kavität mit bewegtem Deckel oder Umströmung eines Zylinders, Farbe nach Wirbelstärke, Reynolds-Zahl und Reflexion an den Wänden.

Kleines Gitter, BGK-Stoß, einfache Bounce-Back-Wände und qualitative Ein- und Auslassränder: gemeint ist die Intuition für das Verfahren, nicht die Strömungsberechnung in der Praxis.

Diagramme

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Das Lattice-Boltzmann-Verfahren beschreibt eine Strömung durch Verteilungsfunktionen auf diskreten Geschwindigkeiten, nicht durch direkte Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen. Satz D2Q9 und BGK-Relaxation: die Verteilungen relaxieren gegen das lokale Gleichgewicht, werden in die Nachbarzellen transportiert und an festen Rändern reflektiert. Zwei Anordnungen: Kavität mit bewegtem Deckel und Umströmung eines Zylinders. Die Färbung zeigt die Wirbelstärke — sichtbar werden Rezirkulation, Scherschichten und der Nachlauf, wenn sich die Reynolds-Zahl ändert. Die Viskosität in Gittereinheiten ist ν = (τ − 1/2)/3; eine Relaxationszeit τ zu nahe bei 1/2 macht das Schema instabil.

Für wen: Wissenschaftliches Rechnen, numerische Verfahren, numerische Strömungsmechanik: mesoskopische Modelle.

Wichtige Begriffe

lattice-boltzmann-verfahren
d2q9-satz
bgk-relaxation
wirbelstärke
reynolds-zahl
reflexion an den wänden

So funktioniert es

Im Lattice-Boltzmann-Verfahren wird die Flüssigkeit durch Verteilungsfunktionen f_i längs der diskreten Gitterrichtungen beschrieben. Bei D2Q9 gibt es neun Geschwindigkeiten; jeder Schritt besteht aus dem Stoß (Relaxation) gegen das Gleichgewicht f_i^eq und dem Transport — dem Fluss längs der Gitterbindungen — in die Nachbarzellen: f_i(x+c_i,t+1)=f_i(x,t)−ω(f_i−f_i^eq). Die Viskosität folgt aus ν=(τ−1/2)/3, die Reynolds-Zahl aus Re=UL/ν. An den Wänden und am Zylinder werden die Verteilungsfunktionen mit Richtungswechsel reflektiert (Bounce-Back).

Wichtige Gleichungen

D2Q9: f_i(x+c_i,t+1) = f_i(x,t) − ω(f_i − f_i^eq)

ν = c_s²(τ−1/2), c_s²=1/3, Re = U L / ν

Häufige Fragen

Warum verwendet das Lattice-Boltzmann-Verfahren Verteilungsfunktionen statt der Geschwindigkeit selbst?: Das Schema entwickelt Besetzungszahlen längs der diskreten Gitterrichtungen. Makroskopische Dichte und Geschwindigkeit sind Momente dieser Besetzungen, daher bleibt der Transport lokal, und Ränder lassen sich bequem durch Reflexion vorgeben.
Was steuert die Relaxationszeit τ?: Für D2Q9 mit BGK gilt in Gittereinheiten ν = (τ − 1/2)/3. Ein τ zu nahe bei 0,5 bedeutet sehr kleine Viskosität und kann zu numerischer Instabilität führen.
Worin unterscheiden sich die Kavität mit Deckel und die Zylinderumströmung?: In der Kavität erzeugt die obere Wand eine Scherung, innen bilden sich Wirbel. Bei der Zylinderumströmung sieht man Nachlauf und Ablösung, wenn die Reynolds-Zahl wächst. In beiden Fällen ist die Farbe die Wirbelstärke.

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