Warum wird die Zeichenkette bei jeder Iteration so viel länger?

Die Ersetzung tauscht Symbole parallel gegen längere Wörter aus, daher wachsen Kettenlänge und Zeichendichte mit der Tiefe in der Regel exponentiell. Hohe Iterationen werden rasch flächig.

Was bedeuten Sichern und Wiederherstellen bei der Schildkröte?

Verzweigungssymbole merken sich Lage und Richtung (Sichern) und holen sie später zurück (Wiederherstellen), damit ein Seitenzweig gezeichnet und der Stamm vom selben Punkt fortgesetzt wird.

Sind endliche Iterationen schon das echte Fraktal?

Nein: es sind polygonale Näherungen. Der fraktale Grenzwert entsteht erst, wenn die Tiefe gegen unendlich geht und der Schritt zugleich schrumpft; der Schirm deutet die Grenze nur an.

L-Systeme

Zeichenkettenersetzung nach Lindenmayer und Schildkrötengrafik: Koch-Kurve, Sierpiński-Dreieck, Hilbert-Kurve, Heighway-Drache, Pflanze.

Zum Modell

L-Systeme (Lindenmayer-Systeme) verlängern eine Zeichenkette durch parallele Ersetzungsregeln und deuten sie danach in der Schildkrötengrafik: Schritt vorwärts, Drehung, Sichern und Wiederherstellen des Zustands für Zweige. Klassische Grammatiken sind die Koch-Kurve, das Sierpiński-Dreieck, die Hilbert-Kurve, der Heighway-Drache und eine verzweigte „Pflanze“. Jede Iteration verlängert die Kette und verfeinert die Zeichnung. Drehwinkel, Schrittlänge und Iterationstiefe legen die Geometrie auf dem Schirm fest. Das Modell ist deterministisch und kontextfrei: ohne Zufallsregeln, ohne zeitliches Wachstum und ohne dreidimensionale Ausrichtung. Mit der Iterationstiefe und dem Wechsel der Vorlagen sieht man, wie örtliche Regeln fraktale und pflanzenartige Formen erzeugen.

Für wen: Diskrete Mathematik, Computergrafik und formale Sprachen: Zeichenkettenersetzung, Fraktale.

Wichtige Begriffe

l-systeme
schildkrötengrafik
zeichenkettenersetzung
koch-kurve
hilbert-kurve
heighway-drache

So funktioniert es

Das L-System ersetzt Symbole parallel nach den Regeln der Grammatik. Die entstandene Zeichenkette zeichnet eine Schildkröte: Schritt vorwärts, Drehung, Sichern und Wiederherstellen der Lage für Zweige. Auf dem Schirm stehen Koch-Kurve, Sierpiński-Dreieck, Hilbert-Kurve, Heighway-Drache oder Pflanze; die Iterationstiefe verlängert die Kette und verfeinert die Zeichnung.

Wichtige Gleichungen

stringₙ₊₁ = apply(rules, stringₙ)

turtle: F→step, +→turn(+δ), −→turn(−δ), [/]→push/pop

|stringₙ| = O(bⁿ) where b = max |rule|

Häufige Fragen

Warum wird die Zeichenkette bei jeder Iteration so viel länger?: Die Ersetzung tauscht Symbole parallel gegen längere Wörter aus, daher wachsen Kettenlänge und Zeichendichte mit der Tiefe in der Regel exponentiell. Hohe Iterationen werden rasch flächig.
Was bedeuten Sichern und Wiederherstellen bei der Schildkröte?: Verzweigungssymbole merken sich Lage und Richtung (Sichern) und holen sie später zurück (Wiederherstellen), damit ein Seitenzweig gezeichnet und der Stamm vom selben Punkt fortgesetzt wird.
Sind endliche Iterationen schon das echte Fraktal?: Nein: es sind polygonale Näherungen. Der fraktale Grenzwert entsteht erst, wenn die Tiefe gegen unendlich geht und der Schritt zugleich schrumpft; der Schirm deutet die Grenze nur an.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Mathematische Visualisierung“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Faltung rechteckiger Impulse

Simulation starten

Zwei Rechteckimpulse der Höhe 1: die Faltung (f∗g)(τ) ist die Überlappungsfläche bei der Verschiebung τ. Bei τ = 0 steht auf dem Schirm die Länge des Schnitts.

NeuHochschule / Forschung

Teilchen im Strömungsfeld

Simulation starten

Synthetisches Feld v(x, y, t); Transport mit periodischen Rändern; optional ein Pfeilgitter.

NeuHochschule / Forschung

Newton-Raphson-Einzugsgebiete

Simulation starten

Karte der Einzugsgebiete des Newton-Raphson-Verfahrens für F(x, y) = 0: Abhängigkeit von der Anfangsnäherung, Iterationszahl, Anziehung der Wurzeln und Abbruch bei singulärer Jacobi-Matrix.

NeuSchule

Logistisches Wachstum

Simulation starten

Logistische Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K): S-Kurve und Einlauf auf die Umweltkapazität K. Der Graph ist die exakte Lösung, kein Euler-Schritt.

NeuSchule

Fraktale: Mandelbrot, Julia, Koch

Simulation starten

Mandelbrot-Menge, Julia-Menge und Koch-Schneeflocke. Iterationen z ← z² + c, Maßstab mit dem Mausrad.

NeuKinder

Chaos-Spiel (Sierpiński-Dreieck)

Simulation starten

Zufällige Wahl einer Dreiecksecke und Schritt zur Streckenmitte: die Punktewolke läuft auf das Sierpiński-Dreieck zu. Die Farbe nach gewählter Ecke zeigt die drei selbstähnlichen Teile.

L-Systeme

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Faltung rechteckiger Impulse

Teilchen im Strömungsfeld

Newton-Raphson-Einzugsgebiete

Logistisches Wachstum

Fraktale: Mandelbrot, Julia, Koch

Chaos-Spiel (Sierpiński-Dreieck)

L-Systeme

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen