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Startseite/Mathematische Visualisierung/Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm

Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm

Bowyer–Watson-Triangulation und duales Voronoi-Diagramm: ein Klick ergänzt Standorte, Ziehen verschiebt sie.

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Modus

20

Tastenkürzel

  • •Klicken Sie ins Leere, um einen Standort hinzuzufügen
  • •Ziehen Sie einen gelben Standort, um ihn zu verschieben

Gemessene Größen

Standorte0
Delaunay-Dreiecke0
Delaunay-Kanten0
Voronoi-Kanten (innen)0

Zum Modell

Das Voronoi-Diagramm ordnet jeden Punkt der Ebene dem nächsten Standort zu. Die Delaunay-Triangulation verbindet Standorte, deren Voronoi-Zellen eine Kante teilen — das sind Dreiecke mit leerem Umkreis. Die Triangulation entsteht mit dem inkrementellen Algorithmus von Bowyer–Watson; das duale Voronoi-Diagramm wird daneben gezeichnet. Ein Klick ergänzt einen Standort, Ziehen verschiebt ihn; Netz und Zellen aktualisieren sich sogleich. Die Geometrie ist euklidisch, in der Ebene: ohne Gewichte, ohne Kantenbeschränkungen und ohne andere Metrik. Beim Hinzufügen und Verschieben sieht man den Neuaufbau nach dem Kriterium des leeren Umkreises und das Wandern der Zellgrenzen.

Für wen: Algorithmische Geometrie und Netzgenerierung: Delaunay, Voronoi, Kriterium des leeren Umkreises.

Wichtige Begriffe

  • delaunay-triangulation
  • voronoi-diagramm
  • bowyer-watson-algorithmus
  • umkreis
  • nächster nachbar
  • dualität

So funktioniert es

Zu einer Punktmenge in der Ebene wird die Delaunay-Triangulation mit dem Algorithmus von Bowyer–Watson aufgebaut: Dreiecke mit nichtleerem Umkreis fallen weg, das Loch wird zum neuen Punkt hin geschlossen. Das Voronoi-Diagramm ist dual: die Knoten sind Umkreismittelpunkte, die Kanten sind Mittelsenkrechten. Auf dem Schirm stehen die Dreiecke und die Voronoi-Zellen.

Wichtige Gleichungen

V(sᵢ) = { x : ‖x − sᵢ‖ ≤ ‖x − sⱼ‖ ∀ j }
Delaunay edge ⇔ V(sᵢ) and V(sⱼ) share an edge
empty-circle: no seed is strictly inside circumcircle of any triangle

Häufige Fragen

Warum ist der leere Umkreis wichtig?
Eine Triangulation ist genau dann eine Delaunay-Triangulation, wenn der Umkreis jedes Dreiecks keine anderen Standorte enthält. Dieses Kriterium maximiert den kleinsten Winkel unter den Triangulationen der Punktmenge und hilft, sehr spitze Dreiecke in Netzen zu vermeiden.
Worin sind Voronoi und Delaunay dual?
Jede Delaunay-Kante gehört zu zwei benachbarten Voronoi-Zellen; die Voronoi-Knoten liegen in den Umkreismittelpunkten der Delaunay-Dreiecke. Die eine Struktur legt die Kombinatorik der anderen fest.
Was tut der Algorithmus von Bowyer–Watson beim Hinzufügen eines Punktes?
Er findet Dreiecke, deren Umkreis den neuen Standort enthält, entfernt sie und trianguliert das entstandene Loch zum neuen Punkt neu — die Delaunay-Eigenschaft wird schrittweise wiederhergestellt.