Warum hat die Vorlage „Sinus“ genau eine hohe Säule?

Passt der Sinus mit ganzzahliger Periodenzahl genau in N Abtastwerte, fällt seine Energie auf einen Basisvektor der DFT (plus Spiegelung bei k und N−k). Das Maximum ist schmal. Zeichnet man einen „fast-Sinus“ mit gebrochener Periodenzahl, verteilt sich die Energie auf Nachbarbins — Leckage durch das implizite Rechteckfenster.

Warum ist das Spektrum des Impulses breit und nicht ein einzelner Dorn?

Ein einzelner von null verschiedener Abtastwert ist das diskrete Analogon eines sehr kurzen Impulses. Kurze Lokalisierung in der Zeit gibt ein breites Spektrum. Umgekehrt braucht ein schmalbandiger Ton viele Schwingungen im Fenster — dieselbe Reziprozität von Dauer und Bandbreite wie bei der kontinuierlichen Transformation.

Sind die Säulen Leistung oder Amplitude?

Gezeigt ist der Betrag des komplexen Koeffizienten: |X[k]| = √(Re² + Im²). Die Höhe ist auf das Maximum normiert; die absoluten Werte von Gleichanteil, dominierendem k und Nyquist stehen in der Seitenleiste.

Was ist die Nyquist-Frequenz in diesem Diagramm?

Der letzte Bin k = N/2. Darüber sind Harmonische auf diesem Gitter von tieferen nicht zu unterscheiden (Überlagerung der Spektren). Für ein reelles Signal ist das Spektrum symmetrisch, daher zeigt man nur 0 … N/2.

FFT-Spektrum

Zeichnen oder wählen Sie eine Vorlage mit 256 Abtastwerten; FFT zur Basis 2 — |X[k]| über die Bins vom Gleichanteil bis zur Nyquist-Frequenz.

Zum Modell

Das FFT-Spektrum — die diskrete Fourier-Transformation (DFT) — zeigt, welcher Anteil jeder Sinusfrequenz in einer endlichen Folge von Abtastwerten steckt. Man nimmt N = 256 reelle Abtastwerte x[n], berechnet die schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur Basis 2 und zeichnet die Beträge |X[k]| für die Bins k = 0 … N/2: Gleichanteil, positive Frequenzen und den Nyquist-Bin. Die obere Leiste ist das Signal in der Zeit: Vorlagen (Sinus mit ganzzahliger Periodenzahl im Fenster, zwei Töne, Rechteck, Impuls, Rauschen) oder Zeichnung mit der Maus — der Puffer im Modus „eigene Kurve“. Die Spektralsäulen sind auf das Maximum normiert, damit man die relative Energieverteilung vergleicht. Die Fourier-Reihe baut ein periodisches Signal aus Harmonischen; hier die Frequenzanalyse auf einem Fenster fester Länge. Ist die Periodenzahl im Fenster nicht ganzzahlig, leckt Energie in Nachbarbins (spektrale Leckage durch das implizite Rechteckfenster).

Für wen: Signale und Systeme, Numerik oder Praktikum zur Spektralanalyse; nach der Fourier-Reihe die anschauliche DFT.

Wichtige Begriffe

diskrete fourier-transformation
schnelle fourier-transformation (fft)
frequenzbin
gleichanteil
nyquist-frequenz
amplitudenspektrum
spektrale leckage

So funktioniert es

Man nimmt 256 reelle Abtastwerte x[n] (Vorlage oder Zeichnung der oberen Kurve). Die FFT liefert X[k]; gezeigt werden die Beträge |X[k]| für k = 0 … N/2, einschließlich Nyquist. Ein Sinus mit ganzzahliger Periodenzahl im Fenster sammelt die Energie in einem Bin; ein kurzer Impuls zieht das Spektrum auseinander — dieselbe Zeit-Frequenz-Reziprozität wie bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation.

Wichtige Gleichungen

X[k] = Σ_{n=0}^{N−1} x[n] · e^{−2π i kn/N}

|X[k]| = √(Re² + Im²) · k = 0 … N/2

Häufige Fragen

Warum hat die Vorlage „Sinus“ genau eine hohe Säule?: Passt der Sinus mit ganzzahliger Periodenzahl genau in N Abtastwerte, fällt seine Energie auf einen Basisvektor der DFT (plus Spiegelung bei k und N−k). Das Maximum ist schmal. Zeichnet man einen „fast-Sinus“ mit gebrochener Periodenzahl, verteilt sich die Energie auf Nachbarbins — Leckage durch das implizite Rechteckfenster.
Warum ist das Spektrum des Impulses breit und nicht ein einzelner Dorn?: Ein einzelner von null verschiedener Abtastwert ist das diskrete Analogon eines sehr kurzen Impulses. Kurze Lokalisierung in der Zeit gibt ein breites Spektrum. Umgekehrt braucht ein schmalbandiger Ton viele Schwingungen im Fenster — dieselbe Reziprozität von Dauer und Bandbreite wie bei der kontinuierlichen Transformation.
Sind die Säulen Leistung oder Amplitude?: Gezeigt ist der Betrag des komplexen Koeffizienten: |X[k]| = √(Re² + Im²). Die Höhe ist auf das Maximum normiert; die absoluten Werte von Gleichanteil, dominierendem k und Nyquist stehen in der Seitenleiste.
Was ist die Nyquist-Frequenz in diesem Diagramm?: Der letzte Bin k = N/2. Darüber sind Harmonische auf diesem Gitter von tieferen nicht zu unterscheiden (Überlagerung der Spektren). Für ein reelles Signal ist das Spektrum symmetrisch, daher zeigt man nur 0 … N/2.

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