Warum ist die gestrichelte Linie die Gerade y = t und nicht 2t oder 6t?

Jeder Schritt zum nächsten Nachbarn hat die euklidische Länge 1, daher addiert ein Schritt im Mittel 1 zu ||S||² bei der symmetrischen Irrfahrt auf Z^d in dieser Normierung. Verdoppelt man die Schrittlänge, skalieren Kurve und Identität gemeinsam.

Was bedeutet die Schätzung der Rückkehrwahrscheinlichkeit bei endlicher Schwelle τ_max?

Jeder Lauf endet entweder im Moment der ersten Rückkehr τ oder nach τ_max Schritten ohne Rückkehr. Der angezeigte Anteil ist der Anteil der Rückkehren vor der Zensierung. In drei Dimensionen braucht man für die wahre Rückkehrwahrscheinlichkeit oft sehr große τ_max; die Größe ist daher eine Schätzung mit endlichem Horizont.

Worin unterscheidet sich das von der Seite „Zufällige Irrfahrt“?

Dort liegt der Akzent auf Gerader und Ebene mit zufälligem Winkel und auf einer Spur. Hier das ganzzahlige Gitter, das Ensemble-Mittel ⟨r²⟩, das Histogramm und die erste Rückkehr: Rekurrenz in der Ebene gegen Transienz in drei Dimensionen.

Irrfahrt auf dem Gitter (2D / 3D)

Nächste Nachbarn auf Z² oder Z³: Ensemble-Mittel ⟨r²⟩ mit der Vergleichsgeraden y = t, Histogramm von r² und Schätzung der ersten Rückkehr (Rekurrenz und Transienz).

Zum Modell

Die Irrfahrt auf dem Gitter ist die symmetrische einfache Irrfahrt auf dem ganzzahligen Gitter Z^d: der Schritt geht zum nächsten Nachbarn (4 Richtungen auf Z², 6 auf Z³), die Schrittlänge ist 1. Ein Ensemble unabhängiger Irrfahrer startet im Ursprung; das Stichprobenmittel von r² = x² + y² (+ z²) folgt der Identität E[r²] = t. In das Diagramm ⟨r²⟩(t) ist die Gerade y = t eingezeichnet. Das Histogramm von r² zeigt die Streuung um den Mittelwert. Getrennt schätzt man per Monte-Carlo die erste Rückkehr in den Ursprung: den Zeitpunkt τ des ersten Besuchs von 0 bei t > 0. In der Ebene ist die Irrfahrt rekurrent (Rückkehr fast sicher), in drei Dimensionen transient: die Wahrscheinlichkeit, nie zurückzukehren, ist positiv. Das ist die anschauliche Seite des Satzes von Pólya.

Für wen: Wahrscheinlichkeitsrechnung und statistische Physik: Irrfahrt auf dem Gitter, mittleres Verschiebungsquadrat, Pólya-Rekurrenz.

Wichtige Begriffe

einfache irrfahrt
gitter Z^d
mittleres verschiebungsquadrat
erste rückkehrzeit
pólya-rekurrenz
transienz

So funktioniert es

Z² oder Z³, Schritt zum nächsten Nachbarn: Ensemble von Irrfahrern, zeitliches Mittel ⟨r²⟩ mit y = t, Histogramm von r², getrennt Monte-Carlo der ersten Rückkehr mit Schwelle τ_max; Vergleich der Rekurrenz in 2D und der Transienz in 3D.

Wichtige Gleichungen

⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).

Häufige Fragen

Warum ist die gestrichelte Linie die Gerade y = t und nicht 2t oder 6t?: Jeder Schritt zum nächsten Nachbarn hat die euklidische Länge 1, daher addiert ein Schritt im Mittel 1 zu ||S||² bei der symmetrischen Irrfahrt auf Z^d in dieser Normierung. Verdoppelt man die Schrittlänge, skalieren Kurve und Identität gemeinsam.
Was bedeutet die Schätzung der Rückkehrwahrscheinlichkeit bei endlicher Schwelle τ_max?: Jeder Lauf endet entweder im Moment der ersten Rückkehr τ oder nach τ_max Schritten ohne Rückkehr. Der angezeigte Anteil ist der Anteil der Rückkehren vor der Zensierung. In drei Dimensionen braucht man für die wahre Rückkehrwahrscheinlichkeit oft sehr große τ_max; die Größe ist daher eine Schätzung mit endlichem Horizont.
Worin unterscheidet sich das von der Seite „Zufällige Irrfahrt“?: Dort liegt der Akzent auf Gerader und Ebene mit zufälligem Winkel und auf einer Spur. Hier das ganzzahlige Gitter, das Ensemble-Mittel ⟨r²⟩, das Histogramm und die erste Rückkehr: Rekurrenz in der Ebene gegen Transienz in drei Dimensionen.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Mathematische Visualisierung“.

Ganze Kategorie →

NeuSchule

Zufallsbewegung

Simulation starten

Schritte auf der Geraden oder in der Ebene: Bahn und laufendes Mittel ⟨r²⟩ als Vorstufe der Diffusion.

NeuSchule

Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm

Simulation starten

Bowyer–Watson-Triangulation und duales Voronoi-Diagramm: ein Klick ergänzt Standorte, Ziehen verschiebt sie.

NeuSchule

Tumorwachstum (Gompertz / logistisch)

Simulation starten

V(t)→K: Gompertz oder logistisch; Chemotherapie −kV; RK4, Vergleich mit der Kurve ohne Behandlung.

NeuSchule

k-Means (Lloyd-Algorithmus)

Simulation starten

Punkte in der Ebene, Clusterzahl k und Startzentroide. Lloyd-Schritt: Zuordnung zum nächsten Zentrum und Verschiebung des Zentroids in den Schwerpunkt. Demo — Gauß-Mischung; Summe der Quadrate innerhalb der Cluster.

NeuSchule

Zweischichtiges Netz und Backpropagation

Simulation starten

Zwei Merkmale und eine binäre Klasse: verdeckte Schicht mit tanh und logistischer Ausgang. Vollständiger Gradient zur mittleren binären Kreuzentropie; Wärmekarte der Wahrscheinlichkeit und Grenze zum Niveau 0,5 (XOR oder Spiralen).

NeuHochschule / Forschung

Monte-Carlo-Integration und Varianzreduktion

Simulation starten

Gewöhnliches Monte-Carlo-Verfahren, Stichprobe nach Wichtigkeit und Schichtung für ∫f(x) dx: Konvergenzkurven, Standardfehler und die Rate 1/√N.

Irrfahrt auf dem Gitter (2D / 3D)

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Zufallsbewegung

Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm

Tumorwachstum (Gompertz / logistisch)

k-Means (Lloyd-Algorithmus)

Zweischichtiges Netz und Backpropagation

Monte-Carlo-Integration und Varianzreduktion

Irrfahrt auf dem Gitter (2D / 3D)

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen