Was ist ein chemotaktischer Kollaps?

Bei großem χ können die Kontinuumsgleichungen in endlicher Zeit explodieren: fast die ganze Masse in einer schmalen Spitze. Auf dem Gitter ist das das Wachstum von max(n) und ein heller Fleck — das diskrete Analogon der Singularität.

Wozu periodische Ränder?

Sie vereinfachen Laplace-Operator und Divergenz am Rand, damit man die Aggregation im Inneren sieht. In der Petrischale stehen Wände mit verschwindendem Fluss; qualitativ ist das Bild ähnlich.

Wie wirken α und β?

Größeres α oder kleineres β — höheres Niveau von c und steilere Gradienten, stärkere Anziehung. Großes β wäscht das Signal schneller weg.

Warum „explodiert“ das Verfahren bei großem χ?

Das explizite Euler-Verfahren wird bei zu großem χ oder Δt instabil. Die Vorlagen sind für einen anschaulichen Kollaps gewählt; bei Rauschen senken Sie χ oder den Schritt und säen das Feld neu.

Keller-Segel-Chemotaxis

n folgt dem Gradienten von c; Sekretion αn, Zerfall βc; Kollaps bei großem χ; Gitter 96².

Zum Modell

Die Keller-Segel-Chemotaxis ist das minimale Modell gerichteter Bewegung: die Zelldichte n wandert den Gradienten des Lockstoffs c hinauf, den die Zellen selbst sezernieren. Auf dem periodischen Gitter 96×96: ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) und ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Eine zentrale „Kolonie“ gibt c ab, wird zu den Maxima gezogen und verklumpt zu Flecken. Bei χ oberhalb eines (massenabhängigen) kritischen Werts ist im Kontinuum ein Kollaps möglich — Konzentration von n in eine scharfe Spitze; auf dem Gitter wächst max n. Kleineres χ gibt weiche Aggregation. Schema — explizites Euler-Verfahren; Vorlagen „Kollaps“, „Aggregation“, „schwaches χ“; optional die Einfärbung des Feldes c.

Für wen: Mathematische Biologie und partielle DGL: gerichtete Bewegung, Aggregation und Kollaps der Dichte.

Wichtige Begriffe

keller-segel-modell
chemotaxis
gradient des lockstoffs
chemotaktischer kollaps
reaktion-diffusion
zelldichte
kritischer parameter χ

So funktioniert es

Bakteriendichte n und Lockstoff c auf dem Gitter: ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c), ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Die Zellen driften den Gradienten ∇c hinauf und sezernieren c. Bei großem χ — Aggregation und Kollaps (Wachstum von max n). Farbe — log(1+n); Vorlage „Kollaps“; periodische Ränder.

Wichtige Gleichungen

∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) · ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc

Häufige Fragen

Was ist ein chemotaktischer Kollaps?: Bei großem χ können die Kontinuumsgleichungen in endlicher Zeit explodieren: fast die ganze Masse in einer schmalen Spitze. Auf dem Gitter ist das das Wachstum von max(n) und ein heller Fleck — das diskrete Analogon der Singularität.
Wozu periodische Ränder?: Sie vereinfachen Laplace-Operator und Divergenz am Rand, damit man die Aggregation im Inneren sieht. In der Petrischale stehen Wände mit verschwindendem Fluss; qualitativ ist das Bild ähnlich.
Wie wirken α und β?: Größeres α oder kleineres β — höheres Niveau von c und steilere Gradienten, stärkere Anziehung. Großes β wäscht das Signal schneller weg.
Warum „explodiert“ das Verfahren bei großem χ?: Das explizite Euler-Verfahren wird bei zu großem χ oder Δt instabil. Die Vorlagen sind für einen anschaulichen Kollaps gewählt; bei Rauschen senken Sie χ oder den Schritt und säen das Feld neu.

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