Was bewirkt der Relaxationsparameter ω?

ω skaliert die Newton-Korrektur. Bei ω = 1 ist das das klassische Newton-Verfahren; bei ω ≠ 1 ist der Schritt relaxiert. Eine Änderung von ω ändert die Konvergenzgeschwindigkeit und kann die Gebietsgrenzen umbauen, manchmal anziehende Zyklen erzeugen oder vernichten.

Warum sind die Grenzen so zerklüftet?

In der Nähe der Gebietsgrenzen führt eine winzige Änderung der Startnäherung die Bahn zu einer anderen Wurzel. Diese Empfindlichkeit erzeugt selbstähnliche fraktale Trenner, keine glatten Voronoi-Zellen.

Konvergiert jeder Startpunkt gegen eine Nullstelle?

Nicht notwendig. Manche Punkte divergieren, irren oder fallen in anziehende Zyklen, die keine Nullstellen sind, besonders bei geändertem ω. Die farbigen Gebiete markieren erfolgreiche Anziehung zu den n-ten Einheitswurzeln innerhalb des Iterationslimits.

Newton-Fraktal

Einzugsgebiete der Newton-Iteration für zⁿ − 1 mit Relaxationsparameter ω.

Zum Modell

Das Newton-Fraktal entsteht aus den Einzugsgebieten des Newton-Verfahrens für die Nullstellen eines komplexen Polynoms: die Iteration lautet z_{n+1} = z_n − ω f(z_n)/f'(z_n). Für f(z) = zⁿ − 1 sind die Nullstellen die n-ten Einheitswurzeln; jede zieht ihr Einzugsgebiet von Startpunkten an, und die Grenzen der Gebiete bilden fraktale Mengen, verwandt mit Julia-Mengen. Ein Pixel wird danach eingefärbt, zu welcher Wurzel die Iteration konvergiert, oft auch nach der Konvergenzgeschwindigkeit. Der Relaxationsparameter ω skaliert den klassischen Schritt (ω = 1); bei ω ≠ 1 bauen sich die Grenzen um, manchmal entstehen anziehende Zyklen, die keine Nullstellen sind. Die Familie ist nur zⁿ − 1; Arithmetik endlicher Genauigkeit, ohne Schutz vor solchen Zyklen.

Für wen: Numerische Verfahren und komplexe Dynamik: Newton-Verfahren, Einzugsgebiete.

Wichtige Begriffe

newton-fraktal
newton-verfahren
einzugsgebiet
einheitswurzeln
relaxationsparameter
komplexe iteration

So funktioniert es

Das Newton-Verfahren für f(z)=zⁿ−1 iteriert z_{n+1}=z_n−ω f(z_n)/f'(z_n). Die Nullstellen sind die n-ten Einheitswurzeln; die Pixelfarbe zeigt, in welches Einzugsgebiet die Startnäherung fällt. Bei ω=1 ist das das klassische Newton-Verfahren; Relaxation ω≠1 baut die Grenzen um und kann Zyklen erzeugen, die keine Nullstellen sind. Die Gebietsgrenzen sind fraktal: nahe Starts laufen zu verschiedenen Wurzeln.

Wichtige Gleichungen

zₙ₊₁ = zₙ − ω · p(zₙ) / p′(zₙ)

p(z) = zⁿ − 1, p′(z) = n z^{n−1}

roots: ζₖ = exp(2πi k / n), k = 0…n−1

Häufige Fragen

Was bewirkt der Relaxationsparameter ω?: ω skaliert die Newton-Korrektur. Bei ω = 1 ist das das klassische Newton-Verfahren; bei ω ≠ 1 ist der Schritt relaxiert. Eine Änderung von ω ändert die Konvergenzgeschwindigkeit und kann die Gebietsgrenzen umbauen, manchmal anziehende Zyklen erzeugen oder vernichten.
Warum sind die Grenzen so zerklüftet?: In der Nähe der Gebietsgrenzen führt eine winzige Änderung der Startnäherung die Bahn zu einer anderen Wurzel. Diese Empfindlichkeit erzeugt selbstähnliche fraktale Trenner, keine glatten Voronoi-Zellen.
Konvergiert jeder Startpunkt gegen eine Nullstelle?: Nicht notwendig. Manche Punkte divergieren, irren oder fallen in anziehende Zyklen, die keine Nullstellen sind, besonders bei geändertem ω. Die farbigen Gebiete markieren erfolgreiche Anziehung zu den n-ten Einheitswurzeln innerhalb des Iterationslimits.

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