Wie kann ein Strom ±1 einen glatten Sinus wiedergeben?

Die Schleife zwingt das lokale Mittel von y[n], x[n] zu folgen; die Dichte der Impulse ±1 kodiert die Amplitude. Ein Tiefpass hebt den langsamen Anteil heraus und schwächt das geformte Hochfrequenzrauschen.

Was bringt die zweite Ordnung gegenüber der ersten?

Ein weiterer Integrator erhöht die Ordnung der Rauschübertragungsfunktion bei tiefen Frequenzen: meist weniger Rauschen im Band, dafür ein stärkerer Hochfrequenzboden und engere Stabilitätsgrenzen bei großen Amplituden.

Ist das derselbe Filter wie im echten Umsetzer?

Nein. In der Hardware ein steiler analoger oder digitaler Filter mit festgelegter Welligkeit und Verzögerung. Der gleitende Mittelwert ist ein einfaches FIR-Mittel zur Anschauung.

Wozu Hann-Fenster und Maßstab g im Spektrum?

Das Hann-Fenster mindert die FFT-Leckage, wenn die Sinusfrequenz nicht in ein Bin fällt; g passt den Maßstab des geglätteten Stroms an x, damit die Grafik die Form des Fehlerspektrums zeigt und nicht nur den gemeinsamen Verstärkungsfaktor.

ΔΣ-Modulator (1 Bit)

Diskrete ΔΣ 1. und 2. Ordnung mit Quantisierung ±1: Rauschformung, Sinus am Eingang, gleitender Mittelwert als Lehr-Tiefpassrekonstruktion und Spektrum des Fehlers.

Diagramme

Zum Modell

Die Delta-Sigma-Modulation kodiert ein schmalbandiges Signal als hochfrequenten Strom grober Pegel — hier nur ±1 —, sodass das Quantisierungsrauschen in der Schleife im Signalband unterdrückt und zu hohen Frequenzen geschoben wird (Rauschformung). Lehrhafte diskrete Schleifen erster und zweiter Ordnung: jeder Integrator sammelt die Differenz zwischen Eingang und Rückführung vom 1-Bit-DAC (y[n] ∈ {−1, +1}), der Quantisierer ist das Vorzeichen des letzten Zustands. Der gleitende Mittelwert über M Abtastwerte ahmt den analogen Tiefpass nach einem idealen DAC nach. Die letzte Tafel ist eine FFT mit Hann-Fenster über den Rekonstruktionsfehler g·y_LPF − x auf den letzten 1024 Abtastwerten: bei zweiter Ordnung wächst das Fehlerspektrum zu hohen Frequenzen meist steiler. Keine DAC-Nichtlinearität, kein Taktjitter und keine mehrbitigen Strukturen.

Für wen: Einführung in digitale Signalverarbeitung und gemischte Schaltungen: Rauschformung, Überabtastung, ΔΣ-ADC.

Wichtige Begriffe

delta-sigma-modulation
rauschformung
überabtastung
quantisierung
gleitender mittelwert
rauschübertragungsfunktion
zweistufiger quantisierer

So funktioniert es

ΔΣ sammelt x − y im Integrator und gibt grobes y = ±1; die Schleife schiebt das Spektrum des Quantisierungsrauschens zu hohen Frequenzen (Rauschformung). Die zweite Ordnung fügt einen zweiten Integrator hinzu — meist tieferes Rauschtal bei tiefen Frequenzen. Der gleitende Mittelwert über den Bitstrom ahmt den Tiefpass nach dem DAC nach; auf dem Schirm außerdem die FFT des Rekonstruktionsfehlers.

Wichtige Gleichungen

1st: u[n] = u[n−1] + x[n] − y[n−1], y[n] = sign(u[n])

2nd: u₁ += x−y, u₂ += u₁−y, y = sign(u₂)

Häufige Fragen

Wie kann ein Strom ±1 einen glatten Sinus wiedergeben?: Die Schleife zwingt das lokale Mittel von y[n], x[n] zu folgen; die Dichte der Impulse ±1 kodiert die Amplitude. Ein Tiefpass hebt den langsamen Anteil heraus und schwächt das geformte Hochfrequenzrauschen.
Was bringt die zweite Ordnung gegenüber der ersten?: Ein weiterer Integrator erhöht die Ordnung der Rauschübertragungsfunktion bei tiefen Frequenzen: meist weniger Rauschen im Band, dafür ein stärkerer Hochfrequenzboden und engere Stabilitätsgrenzen bei großen Amplituden.
Ist das derselbe Filter wie im echten Umsetzer?: Nein. In der Hardware ein steiler analoger oder digitaler Filter mit festgelegter Welligkeit und Verzögerung. Der gleitende Mittelwert ist ein einfaches FIR-Mittel zur Anschauung.
Wozu Hann-Fenster und Maßstab g im Spektrum?: Das Hann-Fenster mindert die FFT-Leckage, wenn die Sinusfrequenz nicht in ein Bin fällt; g passt den Maßstab des geglätteten Stroms an x, damit die Grafik die Form des Fehlerspektrums zeigt und nicht nur den gemeinsamen Verstärkungsfaktor.

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