Warum erhält der Savitzky-Golay-Filter Peaks besser als der gleitende Mittelwert?

Der gleitende Mittelwert ersetzt einen Punkt durch das Mittel der Nachbarn und rundet scharfe Merkmale ab. Savitzky-Golay passt im Fenster ein Polynom an (oft eine Parabel). Lokal ähnelt ein Peak einer Parabel, daher bleiben Höhe und Breite besser erhalten, während das Rauschen gemittelt wird.

Was geschieht, wenn der Polynomgrad nicht kleiner als die Fensterbreite ist?

Für eine eindeutige Anpassung eines Polynoms vom Grad p braucht man mindestens p+1 Punkte. Ist der Grad zu hoch, werden die kleinsten Quadrate instabil und folgen dem Rauschen. Gewöhnlich liegt der Grad deutlich unter der Fensterbreite.

Braucht man gleichabständige Abtastwerte?

Ja. Die klassischen Faltungskoeffizienten gelten für eine konstante Schrittweite im Argument. Das Verfahren ist nicht auf den Kosinus beschränkt: jede gleichabständige verrauschte Reihe.

Wie wählt man Fenster und Grad?

Ein größeres Fenster dämpft Rauschen stärker, kann aber einen schmalen Peak verwischen. Ein hoher Grad folgt Krümmungen besser, wiederholt bei Übermaß jedoch das Rauschen. Gewöhnlich beginnt man mit Grad 2 oder 3 und wählt das Fenster nach dem schmalsten Detail, das erhalten bleiben soll.

Savitzky-Golay-Glättung

Verrauschter Kosinus und Faltung SG(7,2): das Polynomfilter erhält Peaks besser als ein breites Rechteckfenster.

Zum Modell

Die Savitzky-Golay-Glättung mindert Rauschen und bewahrt dabei die Signalform und die Peakhöhe. In einem gleitenden Fenster werden die Punkte durch ein Polynom niedriger Ordnung nach der Methode der kleinsten Quadrate angenähert; der geglättete Wert ist der Polynomwert in der Fenstermitte. Das läuft auf eine Faltung hinaus: y_smooth[i] = Σ c_n y[i+n], wobei die Koeffizienten c_n aus der Polynomanpassung stammen. Im Diagramm stehen ein verrauschter Kosinus, das Filter SG(7,2) und ein 7-Punkt-gleitender Mittelwert. Das Rechteckfenster drückt Peaks stärker nieder; ein Polynom zweiten Grades liegt lokal näher an einem parabolischen Buckel. Die Abtastwerte sind im Argument gleichabständig. Fensterbreite und Polynomgrad setzen den Kompromiss zwischen Rauschunterdrückung und Erhalt scharfer Details.

Für wen: Signalverarbeitung und experimentelle Spektren: digitale Glättung, Faltung, Peakerhaltung.

Wichtige Begriffe

savitzky-golay-glättung
faltung
gleitender mittelwert
methode der kleinsten quadrate
digitales filter
rauschunterdrückung
polynomregression
peakerhaltung

So funktioniert es

Im gleitenden Fenster wird das Signal durch ein Polynom nach der Methode der kleinsten Quadrate angenähert; das Ergebnis ist eine Faltung mit festen Koeffizienten. Bei SG(7,2) umfasst das Fenster 7 Punkte bei Grad 2. Im Diagramm wird der verrauschte Kosinus mit SG(7,2) und mit dem rechteckigen gleitenden Mittelwert verglichen: das Polynomfilter verschiebt die Peakhöhe weniger.

Häufige Fragen

Warum erhält der Savitzky-Golay-Filter Peaks besser als der gleitende Mittelwert?: Der gleitende Mittelwert ersetzt einen Punkt durch das Mittel der Nachbarn und rundet scharfe Merkmale ab. Savitzky-Golay passt im Fenster ein Polynom an (oft eine Parabel). Lokal ähnelt ein Peak einer Parabel, daher bleiben Höhe und Breite besser erhalten, während das Rauschen gemittelt wird.
Was geschieht, wenn der Polynomgrad nicht kleiner als die Fensterbreite ist?: Für eine eindeutige Anpassung eines Polynoms vom Grad p braucht man mindestens p+1 Punkte. Ist der Grad zu hoch, werden die kleinsten Quadrate instabil und folgen dem Rauschen. Gewöhnlich liegt der Grad deutlich unter der Fensterbreite.
Braucht man gleichabständige Abtastwerte?: Ja. Die klassischen Faltungskoeffizienten gelten für eine konstante Schrittweite im Argument. Das Verfahren ist nicht auf den Kosinus beschränkt: jede gleichabständige verrauschte Reihe.
Wie wählt man Fenster und Grad?: Ein größeres Fenster dämpft Rauschen stärker, kann aber einen schmalen Peak verwischen. Ein hoher Grad folgt Krümmungen besser, wiederholt bei Übermaß jedoch das Rauschen. Gewöhnlich beginnt man mit Grad 2 oder 3 und wählt das Fenster nach dem schmalsten Detail, das erhalten bleiben soll.

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