Warum ist die Spur eckig, der Graph von ⟨r²⟩ aber eine Gerade?

Ein einzelner Weg ist unvorhersagbar: jeder Schritt ist zufällig. Die Größe ⟨r²⟩ ist Statistik. Der lineare Trend folgt aus der Unabhängigkeit der Schritte und dem Gesetz der großen Zahlen: das mittlere Verhalten ist vorhersagbar, die einzelne Bahn nicht.

Bewegt sich Blütenstaub im Wasser wirklich so?

Das ist ein vereinfachtes Modell der Brownschen Bewegung. Das Teilchen wird von Flüssigkeitsmolekülen gestoßen. Das lineare Wachstum von ⟨r²⟩ mit der Zeit ist die Statistik, mit der Einstein 1905 die Diffusion an die Atomistik band.

Was ist das „laufende Mittel“ ⟨r²⟩?

Das Mittel von r² bis zum gegebenen Schritt N für den einen beobachteten Wanderer. Bei kleinem N ist der Graph verrauscht; bei großem N nähert er sich einer Geraden der Form N L². Die Vorhersagbarkeit wächst mit dem Datenumfang.

Was beschreibt das Modell nicht?

Variable Schrittlänge, Wartezeiten, eine äußere Kraft (gerichtete Bewegung) und anomale Diffusion, bei der ⟨r²⟩ ∝ N^α mit α ≠ 1. Hier ist der Schritt fest und unabhängig.

Zufallsbewegung

Schritte auf der Geraden oder in der Ebene: Bahn und laufendes Mittel ⟨r²⟩ als Vorstufe der Diffusion.

Zum Modell

Die Zufallsbewegung: jeder Schritt ist unabhängig (auf der Geraden nach links oder rechts, in der Ebene unter einem zufälligen Winkel). Die Schrittlänge ist fest. Das mittlere Verschiebungsquadrat ⟨r²⟩ wächst linear mit der Schrittzahl N: für die ungerichtete Bewegung gilt ⟨r²⟩ ∝ N — das Kennzeichen gewöhnlicher (Fickscher) Diffusion. Auf dem Bildschirm eine Bahn und das laufende Mittel von r²; bei großem N legt sich das Mittel auf eine Gerade, trotz des Rauschens eines einzelnen Weges. Es gibt keine äußere Kraft, die Schrittlänge ist konstant, ein Gedächtnis fehlt. Das ist ein diskretes Schema der Brownschen Bewegung, keine glatte Diffusionsbahn.

Für wen: Wahrscheinlichkeitstheorie und Molekülphysik: Zufallsbewegung, Diffusion, ⟨r²⟩ ∝ t.

Wichtige Begriffe

zufallsbewegung
mittleres verschiebungsquadrat
diffusion
brownsche bewegung
markov-prozess
gesetz der großen zahlen

So funktioniert es

Jeder Schritt ist unabhängig: auf der Geraden ein Vorzeichenwurf, in der Ebene ein gleichverteilter Winkel. Das laufende Mittel ⟨r²⟩ wächst bei großem N linear mit der Schrittzahl — das diskrete Analogon des Diffusionsgesetzes. Auf dem Bildschirm die Spur des Wanderers und der Graph von ⟨r²⟩.

Häufige Fragen

Warum ist die Spur eckig, der Graph von ⟨r²⟩ aber eine Gerade?: Ein einzelner Weg ist unvorhersagbar: jeder Schritt ist zufällig. Die Größe ⟨r²⟩ ist Statistik. Der lineare Trend folgt aus der Unabhängigkeit der Schritte und dem Gesetz der großen Zahlen: das mittlere Verhalten ist vorhersagbar, die einzelne Bahn nicht.
Bewegt sich Blütenstaub im Wasser wirklich so?: Das ist ein vereinfachtes Modell der Brownschen Bewegung. Das Teilchen wird von Flüssigkeitsmolekülen gestoßen. Das lineare Wachstum von ⟨r²⟩ mit der Zeit ist die Statistik, mit der Einstein 1905 die Diffusion an die Atomistik band.
Was ist das „laufende Mittel“ ⟨r²⟩?: Das Mittel von r² bis zum gegebenen Schritt N für den einen beobachteten Wanderer. Bei kleinem N ist der Graph verrauscht; bei großem N nähert er sich einer Geraden der Form N L². Die Vorhersagbarkeit wächst mit dem Datenumfang.
Was beschreibt das Modell nicht?: Variable Schrittlänge, Wartezeiten, eine äußere Kraft (gerichtete Bewegung) und anomale Diffusion, bei der ⟨r²⟩ ∝ N^α mit α ≠ 1. Hier ist der Schritt fest und unabhängig.

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