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Startseite/Mathematische Visualisierung/Tumorwachstum (Gompertz / logistisch)

Tumorwachstum (Gompertz / logistisch)

V(t)→K: Gompertz oder logistisch; Chemotherapie −kV; RK4, Vergleich mit der Kurve ohne Behandlung.

Tumorwachstum und Chemotherapie

0.32
100
4
0.22
6

Gompertz nähert sich K länger; das logistische Gesetz ist symmetrisch. −kV — proportionale Abtötung. Gestrichelt — dasselbe Wachstum ohne Behandlung.

Tastenkürzel

  • •Leertaste oder Enter — Start / Pause
  • •R — Zurücksetzen

Gemessene Größen

V (mit Behandlung)4.00
V (ohne Behandlung)4.00
Zeit t0.00
V / K0.040

Zum Modell

Beim Tumorwachstum nach Gompertz oder nach dem logistischen Gesetz läuft das Volumen V(t) auf das Plateau K zu. Zwei Wachstumsgesetze: logistisch V′ = rV(1−V/K) (symmetrische S-Kurve) und Gompertz V′ = rV ln(K/V) (schnelles Wachstum bei kleinem V und langer Schwanz bei K — häufig in der Onkologie). Die Chemotherapie ist der einfachste Term −kV (Abtötung erster Ordnung, proportional zum Volumen), eingeschaltet ab dem Zeitpunkt t_start. Die grüne Kurve — mit Behandlung, gestrichelt — dasselbe Modell ohne k, parallel integriert. Verfahren RK4; Linie K, Senkrechte — Beginn der Chemotherapie. Raum, Immunität, Resistenz und Dosierungsschemata fehlen.

Für wen: Mathematische Biologie und Einstieg in die Pharmakodynamik: Vergleich von Gompertz und logistischem Gesetz, lineare Abtötung −kV.

Wichtige Begriffe

  • gompertz-wachstum
  • logistisches wachstum
  • tumorvolumen
  • kapazität K
  • chemotherapie
  • kinetik erster ordnung
  • runge-kutta-verfahren

So funktioniert es

Das Tumorvolumen V(t) strebt gegen K. Logistisch: V′ = rV(1−V/K); Gompertz: V′ = rV ln(K/V) — unsymmetrisches Plateau. Chemotherapie: −kV nach t_start (Abtötung erster Ordnung). Gestrichelt — Wachstum ohne Behandlung bei denselben Parametern. RK4; Linie K; zwei Kurven auf einem Diagramm.

Wichtige Gleichungen

logistisch: V' = rV(1−V/K) − kV · Gompertz: V' = rV ln(K/V) − kV

Häufige Fragen

Wozu Gompertz, wenn es das logistische Gesetz gibt?
Klinische Kurven sind oft unsymmetrisch: langes Abbremsen am Maximum. Gompertz gibt dasselbe Plateau K, aber eine andere Form der Zeitreihe — bequem auf einem Diagramm zu vergleichen.
Was bedeutet der Term −kV?
Momentane Abtötung eines Anteils der Zellen, proportional zu V — schematische zytotoxische Therapie ohne Wirkstoffkonzentration und Phasen des Zellzyklus.
Wozu zwei Bahnen?
Gestrichelt — Wachstum ohne Behandlung bei denselben r, K, V(0). Grün — mit k nach t_start; die Abweichung zeigt nur den Effekt der Therapie.
Kann V negativ werden?
Nach dem RK4-Schritt wird das Volumen nach unten durch eine kleine positive Zahl begrenzt. Starke Chemotherapie auf dem Diagramm — nahezu vollständiges Nullsetzen im Lehrsinn, keine klinische Prognose.