Warum wiederholt das Polynom die Funktion weit weg von a schlecht?

Die Koeffizienten kommen aus den Ableitungen in einem einzigen Punkt a, die Näherung ist also lokal. Je weiter x von a liegt, desto stärker wiegen die höheren Potenzen (x − a)^n; bei kleinem n reichen sie nicht. Bei sin, cos und exp konvergiert die volle Reihe trotzdem überall — man muss nur die Ordnung erhöhen.

Worin unterscheidet sich die Maclaurin-Reihe von der Taylor-Reihe?

Die Maclaurin-Reihe ist die Taylor-Reihe bei a = 0. Schieben Sie das Zentrum auf null — das ist Maclaurin; jedes andere a ist die allgemeine Taylor-Reihe.

Kann man jede Funktion so entwickeln?

Dazu braucht man unendliche Differenzierbarkeit in a. Selbst dann kann die Reihe außerhalb eines Radius von der Funktion abweichen. Hier sind sin, cos und exp auf der ganzen Geraden analytisch: die Reihe konvergiert für jedes reelle x gegen f(x).

Taylor-Reihe

Vergleichen Sie sin, cos oder exp mit dem Taylor-Polynom der Ordnung n in der Umgebung der Stelle a.

Zum Modell

Die Taylor-Reihe entwickelt eine glatte Funktion in eine Summe von Potenzen (x − a): f(x) = Σ f^{(n)}(a)/n! · (x − a)^n. Die Partialsumme ist das Taylor-Polynom der Ordnung n. Für sin, cos und exp konvergiert die Reihe auf der ganzen Geraden; bei a = 0 ist das die Maclaurin-Reihe. In der Nähe des Zentrums a wiederholt das Polynom die Funktion; weiter weg wird die Abweichung sichtbarer, solange der Grad nicht reicht. Auf dem Bildschirm ist die graue Kurve f(x), die gelbe das Polynom, der rosa Punkt das Zentrum a. Das Restglied wird nicht gezeichnet: man sieht, wie n wächst und wohin a wandert. Andere Funktionen mit endlichem Konvergenzradius fehlen hier.

Für wen: Analysis: Taylor-Reihe, Maclaurin-Reihe, lokale Approximation durch ein Polynom.

Wichtige Begriffe

taylor-reihe
taylor-polynom
maclaurin-reihe
ableitung
fakultät
konvergenz
lokale approximation

So funktioniert es

Für sin, cos oder exp wird das Taylor-Polynom vom Grad n in der Umgebung von x = a (rosa Punkt) gebaut. Die graue Kurve ist die Funktion selbst, die gelbe die Partialsumme Σ f^{(k)}(a)/k! · (x−a)^k. Nahe a fallen die Kurven zusammen; die Abweichung weiter weg hebt man durch größeres n auf.

Häufige Fragen

Warum wiederholt das Polynom die Funktion weit weg von a schlecht?: Die Koeffizienten kommen aus den Ableitungen in einem einzigen Punkt a, die Näherung ist also lokal. Je weiter x von a liegt, desto stärker wiegen die höheren Potenzen (x − a)^n; bei kleinem n reichen sie nicht. Bei sin, cos und exp konvergiert die volle Reihe trotzdem überall — man muss nur die Ordnung erhöhen.
Worin unterscheidet sich die Maclaurin-Reihe von der Taylor-Reihe?: Die Maclaurin-Reihe ist die Taylor-Reihe bei a = 0. Schieben Sie das Zentrum auf null — das ist Maclaurin; jedes andere a ist die allgemeine Taylor-Reihe.
Kann man jede Funktion so entwickeln?: Dazu braucht man unendliche Differenzierbarkeit in a. Selbst dann kann die Reihe außerhalb eines Radius von der Funktion abweichen. Hier sind sin, cos und exp auf der ganzen Geraden analytisch: die Reihe konvergiert für jedes reelle x gegen f(x).

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