Warum hängen die Farben von der Iterationszahl ab?

Pixel, deren Bahn früher entweicht, werden anders eingefärbt als jene, die länger bei der Menge bleiben. Die glatte Einfärbung interpoliert den Fluchtradius und vermindert Streifen vom ganzzahligen Iterationszähler.

Zeigt unendliche Vergrößerung immer neue Struktur?

Örtlich ist die Menge selbstähnlich: winzige Kopien der Mandelbrot-Menge und fadenartige Verzierungen wiederholen sich auf allen Skalen. In der Praxis stoppen Gleitkommagenauigkeit und das Iterationslimit die naive Rechnung früher oder später.

Ist das schwarze Innere genau die Mandelbrot-Menge?

In der Praxis markiert Schwarz Punkte, die innerhalb der vorgesehenen Iterationen nicht entwichen sind. Sehr langsam entweichende äußere Punkte können falsch eingeordnet werden, solange das Limit nicht erhöht wird.

Mandelbrot-Menge

Tiefe Vergrößerung der Mandelbrot-Menge: Ziehen und Mausrad, stetige Einfärbung und benannte Orientierungspunkte.

Zum Modell

Die Mandelbrot-Menge ist die Menge der komplexen Parameter c, für die die Iteration z_{n+1} = z_n² + c mit z₀ = 0 beschränkt bleibt. Die Karte folgt der Fluchtzeit: ein Pixel wird nach der Anzahl der Iterationen bis zum Überschreiten des Fluchtradius eingefärbt, mit gebrochener Glättung, damit keine Streifen vom ganzzahligen Zähler entstehen. Ziehen und Mausrad ändern das Sichtfenster; Orientierungspunkte führen zu bekannten Miniaturkopien der Menge und zu Fäden. Das Modell ist die klassische quadratische Abbildung, keine Familie höherer Potenzen und keine Julia-Menge; die endliche Iterationsgrenze nähert die wahre Menge nur an. Auf kleinen Skalen wird die Selbstähnlichkeit sichtbar; die Genauigkeit der reellen Arithmetik und das Iterationslimit begrenzen die naive Rechnung früher oder später.

Für wen: Komplexe Dynamik und Computergrafik: Iterationen z² + c, Fraktale.

Wichtige Begriffe

mandelbrot-menge
fluchtzeit
komplexe iteration
fraktal
stetige einfärbung
quadratische abbildung

So funktioniert es

Die Mandelbrot-Menge besteht aus jenen c, für die die Bahn z_{n+1}=z_n²+c, z₀=0, beschränkt bleibt. Jedes Pixel der komplexen Ebene ist ein eigenes c; die Farbe gibt die Fluchtzeit (Anzahl der Iterationen bis |z|>R) mit gebrochener Glättung. Schwarze Gebiete — Punkte, die innerhalb des Limits nicht entwichen sind. Ziehen und Mausrad ändern das Sichtfenster; bei tiefer Vergrößerung erscheinen Miniaturkopien der Menge und Fäden.

Wichtige Gleichungen

zₙ₊₁ = zₙ² + c, z₀ = 0

M = { c ∈ ℂ : supₙ |zₙ| < ∞ }

μ = n + 1 − log₂ log₂ |zₙ| (smooth iter)

Häufige Fragen

Warum hängen die Farben von der Iterationszahl ab?: Pixel, deren Bahn früher entweicht, werden anders eingefärbt als jene, die länger bei der Menge bleiben. Die glatte Einfärbung interpoliert den Fluchtradius und vermindert Streifen vom ganzzahligen Iterationszähler.
Zeigt unendliche Vergrößerung immer neue Struktur?: Örtlich ist die Menge selbstähnlich: winzige Kopien der Mandelbrot-Menge und fadenartige Verzierungen wiederholen sich auf allen Skalen. In der Praxis stoppen Gleitkommagenauigkeit und das Iterationslimit die naive Rechnung früher oder später.
Ist das schwarze Innere genau die Mandelbrot-Menge?: In der Praxis markiert Schwarz Punkte, die innerhalb der vorgesehenen Iterationen nicht entwichen sind. Sehr langsam entweichende äußere Punkte können falsch eingeordnet werden, solange das Limit nicht erhöht wird.

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