Warum ist der Zustand vierdimensional?

Das Filter führt x, y und die Geschwindigkeiten vₓ, vᵧ. Auch wenn der Sensor nur Koordinaten liefert, wird die Geschwindigkeit über die Dynamik konstanter Geschwindigkeit und den Kalman-Korrekturschritt wiederhergestellt.

Was geschieht, wenn R viel kleiner als Q ist?

Das Filter vertraut den Messungen und die Schätzung klebt an den verrauschten Punkten: die Ellipse schrumpft, die Bahn zittert aber. Großes R gibt eine glattere, nachlaufende Spur.

Kalman-Filter: 2D-Verfolgung

Vierdimensionaler Filter konstanter Geschwindigkeit: verrauschte Messungen (x,y), Beschleunigungsrauschen Q, Messvarianz R und mitlaufende Kovarianzellipse ≈2σ.

Zum Modell

Der Kalman-Filter zur 2D-Verfolgung schätzt Lage und Geschwindigkeit aus verrauschten Messungen (x, y). Das Modell konstanter Geschwindigkeit liefert einen vierdimensionalen Zustand; das Prozessrauschen ist weiße Beschleunigung, daher koppelt die diskrete Matrix Q die Unsicherheit von Koordinate und Geschwindigkeit. Die bernsteinfarbene Ellipse ist die Kontur ≈2σ des Lageblocks der Kovarianz P. Der Vergleich der RMSE von Schätzung und Rohpunkten zeigt, wie Q und R Nachlauf gegen Zittern tauschen. Die Wahrheit kann auf einem Kreis, einer Lissajous-Figur, einer Diagonale oder einer Zufallsbewegung laufen.

Für wen: Schätzung, Robotik, Regelung: Kalman-Filter und Zielverfolgung.

Wichtige Begriffe

kalman-filter
2d-verfolgung
kovarianzellipse
prozessrauschen q
messrauschen r
modell konstanter geschwindigkeit

So funktioniert es

Der Kalman-Filter schätzt den Zustand [x, y, vₓ, vᵧ] aus verrauschten Lagemessungen. Prädiktion: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q, wobei Q weiße Beschleunigung modelliert. Korrektur: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ zieht die Schätzung zur Messung z. Die bernsteinfarbene Ellipse ist die Kontur ≈2σ aus dem Lageblock von P; der Vergleich der RMSE von Schätzung und Messungen zeigt den Kompromiss Nachlauf gegen Zittern bei der Wahl von Q und R.

Wichtige Gleichungen

x = [x, y, vₓ, vᵧ]ᵀ · F konstante Geschwindigkeit · z = [x, y]ᵀ + v

Prädiktion: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

Korrektur: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹, x̂ = x̂⁻ + K(z − H x̂⁻)

Häufige Fragen

Warum ist der Zustand vierdimensional?: Das Filter führt x, y und die Geschwindigkeiten vₓ, vᵧ. Auch wenn der Sensor nur Koordinaten liefert, wird die Geschwindigkeit über die Dynamik konstanter Geschwindigkeit und den Kalman-Korrekturschritt wiederhergestellt.
Was geschieht, wenn R viel kleiner als Q ist?: Das Filter vertraut den Messungen und die Schätzung klebt an den verrauschten Punkten: die Ellipse schrumpft, die Bahn zittert aber. Großes R gibt eine glattere, nachlaufende Spur.

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