Was bestimmt die Konvergenzgeschwindigkeit der Potenzmethode?

Für eine diagonalisierbare Matrix mit eindeutigem dominantem Eigenwert fällt der Richtungsfehler in der Regel wie |λ₂/λ₁|ᵏ. Je größer die spektrale Lücke, desto kleiner dieses Verhältnis und desto schneller die Konvergenz.

Wozu braucht man den Rayleigh-Quotienten?

Wenn der Vektor nahe am Eigenvektor liegt, liefert ρ = xᵀ A x / xᵀ x eine natürliche Schätzung des Eigenwerts. Das Residuum ‖Ax − ρx‖ prüft dann, wie nahe das Paar wirklich am Eigenpaar ist.

Was geschieht, wenn zwei Eigenwerte betragsmäßig fast gleich sind?

Die Lücke ist klein, |λ₂/λ₁| liegt nahe bei eins, und die Iterationen pendeln lange zwischen den Richtungen. Im Diagramm sieht man das langsame Annähern an den Kreis des dominanten Vektors.

Potenzmethode: Konvergenz des Eigenwerts

Konvergenz zum dominanten Eigenvektor: Verhältnis der spektralen Lücke, Rayleigh-Quotient, Residuum und normierte Iterationen.

Die Demonstration verwendet eine zweidimensionale symmetrische Matrix, daher sind die wahren Eigenvektoren sichtbar. Liegt das Spektralverhältnis nahe bei eins, wird die Konvergenz langsam; ist der Startvektor fast orthogonal zum dominanten Eigenvektor, ist die nützliche Komponente anfangs sehr klein.

Diagramme

Zum Modell

Die Potenzmethode isoliert die dominante Eigenrichtung durch wiederholtes Multiplizieren eines Vektors mit der Matrix A und anschließendes Normieren. Bei |λ₁| > |λ₂| und nichtverschwindender Projektion des Startvektors strebt die Richtung gegen den Eigenvektor zu λ₁. Auf dem Einheitskreis sieht man die normierten Iterationen und die Eigenachsen einer zweidimensionalen symmetrischen Matrix. Der Rayleigh-Quotient ρ = xᵀ A x / xᵀ x schätzt den Eigenwert, das Residuum ‖Ax − ρx‖ die Nähe zum Eigenpaar. Das Verhältnis |λ₂/λ₁| erklärt, warum die Konvergenz schnell oder sehr langsam sein kann. Verändert werden λ₁, λ₂, die Drehung der Achsen und der Startwinkel.

Für wen: Numerische lineare Algebra, wissenschaftliches Rechnen: Eigenwerte und Potenzmethode.

Wichtige Begriffe

potenzmethode
dominanter eigenvektor
rayleigh-quotient
spektrale lücke
residuum des eigenpaars
konvergenzgeschwindigkeit

So funktioniert es

Die Potenzmethode wiederholt die Iteration x_{k+1}=Ax_k/||Ax_k||. Gibt es einen eindeutigen größten Eigenwert und hat der Startvektor eine Komponente längs des zugehörigen Eigenvektors, konvergiert die Richtung gegen diesen Eigenvektor. Die Geschwindigkeit bestimmt das Spektralverhältnis |λ2/λ1|: je näher es bei eins liegt, desto langsamer fällt der Fehler. Der Rayleigh-Quotient ρ=x^T A x / x^T x schätzt den Eigenwert, ||Ax−ρx|| zeigt, wie nahe der aktuelle Vektor am wahren Eigenvektor ist.

Wichtige Gleichungen

x_{k+1}=A x_k / ||A x_k||, ρ_k=(x_k^T A x_k)/(x_k^T x_k)

Bei |λ1|>|λ2| fällt der Richtungsfehler ungefähr wie |λ2/λ1|^k

Häufige Fragen

Was bestimmt die Konvergenzgeschwindigkeit der Potenzmethode?: Für eine diagonalisierbare Matrix mit eindeutigem dominantem Eigenwert fällt der Richtungsfehler in der Regel wie |λ₂/λ₁|ᵏ. Je größer die spektrale Lücke, desto kleiner dieses Verhältnis und desto schneller die Konvergenz.
Wozu braucht man den Rayleigh-Quotienten?: Wenn der Vektor nahe am Eigenvektor liegt, liefert ρ = xᵀ A x / xᵀ x eine natürliche Schätzung des Eigenwerts. Das Residuum ‖Ax − ρx‖ prüft dann, wie nahe das Paar wirklich am Eigenpaar ist.
Was geschieht, wenn zwei Eigenwerte betragsmäßig fast gleich sind?: Die Lücke ist klein, |λ₂/λ₁| liegt nahe bei eins, und die Iterationen pendeln lange zwischen den Richtungen. Im Diagramm sieht man das langsame Annähern an den Kreis des dominanten Vektors.

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