Warum hat Tschebyscheff Welligkeit, braucht aber oft eine kleinere Ordnung?

Die zulässige gleichmäßige Abweichung im Durchlassbereich (Typ I) oder Sperrbereich (Typ II) nutzt den Spielraum der Approximation besser als das maximal flache Butterworth-Filter, daher erreicht man dieselbe Übergangsbreite oft mit weniger Polen.

Was leistet die bilineare Transformation?

Sie bildet die stabile linke s-Halbebene ins Innere des Einheitskreises in z ab, z = (1+s)/(1−s) (mit Maßstab der Abtastfrequenz), erhält die Stabilität und krümmt analoge Frequenzen nach dem Tangensgesetz; das gleicht man durch Vorverzerrung aus.

Warum Pole und Nullstellen ansehen, nicht nur |H(f)|?

Pole nahe am Einheitskreis geben scharfe Resonanzen und langes Nachschwingen der Impulsantwort; Nullstellen schneiden Sperrstellen. Die z-Ebene erklärt Stabilitätsreserve und Einschwingvorgänge, die der Amplitudengang allein verbirgt.

IIR-Filter nach Butterworth und Tschebyscheff

Entwurf von Tief- und Hochpass nach Butterworth und Tschebyscheff I/II: |H(f)|, Phase, Impulsantwort und Pole–Nullstellen in der z-Ebene über die bilineare Transformation.

Zum Modell

IIR-Filter nach Butterworth und Tschebyscheff I/II gehen auf klassische analoge Prototypen zurück: Butterworth hat ein maximal flaches Durchlassband, Tschebyscheff eine gleichmäßige Welligkeit im Durchlass- oder Sperrbereich. Das digitale IIR-Filter entsteht durch die bilineare Transformation; berechnet werden Tiefpass und Hochpass. Auf dem Bildschirm erscheinen der Amplitudengang |H(f)|, die Phase, die Impulsantwort und die Pole und Nullstellen in der z-Ebene. Ordnung, Grenzfrequenz und Welligkeit (bei Tschebyscheff) setzen die Pole innerhalb des Einheitskreises; die analoge Frequenz wird über den Tangens abgebildet, was man durch Vorverzerrung der Skala ausgleicht. Annahmen: lineares zeitinvariantes System, ideale Koeffizienten, ohne Quantisierung und Grenzzyklen.

Für wen: DSP, Nachrichtentechnik, Elektrotechnik: Entwurf digitaler Filter.

Wichtige Begriffe

butterworth-filter
tschebyscheff-filter
iir-filter
bilineare transformation
pol-nullstellen-diagramm
amplitudengang

So funktioniert es

Ein analoger Prototyp (Butterworth oder Tschebyscheff I/II) wird durch die bilineare Transformation in die z-Ebene übertragen. Auf den Diagrammen stehen |H(f)|, Phase und Impulsantwort; in der komplexen Ebene die Pole innerhalb des Einheitskreises und die Nullstellen. Ordnung und Grenzfrequenz verschieben die Pole; die Tschebyscheff-Welligkeit verengt den Übergang auf Kosten der Unebenheit des Amplitudengangs.

Wichtige Gleichungen

Butterworth: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + (Ω/Ωc)^{2N})

Chebyshev I: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + ε² Tₙ²(Ω/Ωp)), ε = √(10^{R_p/10} − 1)

Bilinear: z = (1 + sT/2) / (1 − sT/2), pre-warp Ωc = (2/T) tan(ωc/2)

Häufige Fragen

Warum hat Tschebyscheff Welligkeit, braucht aber oft eine kleinere Ordnung?: Die zulässige gleichmäßige Abweichung im Durchlassbereich (Typ I) oder Sperrbereich (Typ II) nutzt den Spielraum der Approximation besser als das maximal flache Butterworth-Filter, daher erreicht man dieselbe Übergangsbreite oft mit weniger Polen.
Was leistet die bilineare Transformation?: Sie bildet die stabile linke s-Halbebene ins Innere des Einheitskreises in z ab, z = (1+s)/(1−s) (mit Maßstab der Abtastfrequenz), erhält die Stabilität und krümmt analoge Frequenzen nach dem Tangensgesetz; das gleicht man durch Vorverzerrung aus.
Warum Pole und Nullstellen ansehen, nicht nur |H(f)|?: Pole nahe am Einheitskreis geben scharfe Resonanzen und langes Nachschwingen der Impulsantwort; Nullstellen schneiden Sperrstellen. Die z-Ebene erklärt Stabilitätsreserve und Einschwingvorgänge, die der Amplitudengang allein verbirgt.

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