Warum gilt hier ℛ₀ = β/γ?

Im SIR-Modell mit Massenwirkungsansatz βSI und Genesung γI hört ein Infizierter zu Beginn des Ausbruchs bei S ≈ 1 mit Intensität γ auf, infektiös zu sein, und erzeugt Neue mit Intensität βS ≈ β. Das Verhältnis β/γ ist ℛ₀. Bei ℛ₀ ≤ 1 wächst der deterministische Ausbruch aus einem kleinen Anfangsanteil nicht.

Was bedeutet die gestrichelte Linie auf der Höhe 1 − 1/ℛ₀?

Ein Lehr-Richtwert: welcher Immuneanteil in der homogenen Modellwelt nötig ist, damit das effektive ℛ unter eins fällt. Für reale Politik ist das keine Prognose: die Durchmischung ist ungleich, die Immunität kann nachlassen, die Impfung ist ungleich verteilt.

Warum muss man die Reihe nach einer Änderung von β, γ oder der Anfangswerte zurücksetzen?

Kurven und die Marke des Maximums gehören zum laufenden Durchlauf. Eine Änderung der Parameter unterwegs würde verschiedene Dynamiken auf einem Diagramm mischen. Zurücksetzen setzt die Zeit auf null und baut die Geschichte von den gewählten I(0) und R(0) neu auf.

Was fehlt diesem einfachen SIR-Modell?

Keine Latenzstufe (SEIR), keine Demografie, keine Saisonalität, kein Raum, keine Altersgruppen, keine Stochastik kleiner Zahlen und keine explizite Impfung. Ein grundlegendes Lehrmodell, keine Prognose einer konkreten Krankheit.

SIR-Epidemiemodell

S + I + R = 1: βSI und γI; ℛ₀ ≈ β/γ, Schwelle der Herdenimmunität 1 − 1/ℛ₀; Zeitverlauf mit RK4.

Zum Modell

Das SIR-Epidemiemodell (Empfängliche — Infizierte — Genesene) ist das klassische Kompartimentschema einer Epidemie. Die Bevölkerung wird normiert: Anteile S + I + R = 1. Die Gleichungen lauten S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI, wobei β die Übertragungsintensität und γ die Genesungsrate (Kehrwert der typischen infektiösen Dauer) ist. Die Basisreproduktionszahl ℛ₀ = β/γ gibt an, wie viele Sekundärfälle ein Infizierter im Mittel bei S ≈ 1 erzeugt; bei ℛ₀ > 1 wächst der Ausbruch zunächst. Schwelle: S_crit ≈ 1/ℛ₀; der Immuneanteil ≈ 1 − 1/ℛ₀ in einer homogenen Mischung ohne Demografie ist der Richtwert der Herdenimmunität. Integration — RK4 mit festem Schritt und Renormierung der Anteilssumme; im Diagramm S, I, R, der rosa Punkt — Maximum von I(t), gestrichelt bei ℛ₀ > 1 auf der Höhe 1 − 1/ℛ₀. Geburten und Tode, Saisonalität, Raum und Stochastik fehlen.

Für wen: Mathematische Modellierung in Biologie und Gesundheitswesen: Kompartimentmodelle und epidemische Schwelle.

Wichtige Begriffe

sir-modell
kompartimentmodell
basisreproduktionszahl ℛ₀
übertragungskoeffizient β
genesungsrate γ
herdenimmunität
runge-kutta-verfahren

So funktioniert es

SIR teilt die Bevölkerung in Empfängliche S, Infizierte I und Genesene R. Bei S + I + R = 1 und den Raten −βSI, βSI − γI, γI setzt die Basisreproduktionszahl ℛ₀ ≈ β/γ die Schwelle: bei ℛ₀ > 1 wächst der Ausbruch, bis S unter 1/ℛ₀ fällt; der Immuneanteil 1 − 1/ℛ₀ ist der Richtwert der Herdenimmunität in diesem vereinfachten Modell.

Wichtige Gleichungen

S' = −βSI · I' = βSI − γI · R' = γI

Häufige Fragen

Warum gilt hier ℛ₀ = β/γ?: Im SIR-Modell mit Massenwirkungsansatz βSI und Genesung γI hört ein Infizierter zu Beginn des Ausbruchs bei S ≈ 1 mit Intensität γ auf, infektiös zu sein, und erzeugt Neue mit Intensität βS ≈ β. Das Verhältnis β/γ ist ℛ₀. Bei ℛ₀ ≤ 1 wächst der deterministische Ausbruch aus einem kleinen Anfangsanteil nicht.
Was bedeutet die gestrichelte Linie auf der Höhe 1 − 1/ℛ₀?: Ein Lehr-Richtwert: welcher Immuneanteil in der homogenen Modellwelt nötig ist, damit das effektive ℛ unter eins fällt. Für reale Politik ist das keine Prognose: die Durchmischung ist ungleich, die Immunität kann nachlassen, die Impfung ist ungleich verteilt.
Warum muss man die Reihe nach einer Änderung von β, γ oder der Anfangswerte zurücksetzen?: Kurven und die Marke des Maximums gehören zum laufenden Durchlauf. Eine Änderung der Parameter unterwegs würde verschiedene Dynamiken auf einem Diagramm mischen. Zurücksetzen setzt die Zeit auf null und baut die Geschichte von den gewählten I(0) und R(0) neu auf.
Was fehlt diesem einfachen SIR-Modell?: Keine Latenzstufe (SEIR), keine Demografie, keine Saisonalität, kein Raum, keine Altersgruppen, keine Stochastik kleiner Zahlen und keine explizite Impfung. Ein grundlegendes Lehrmodell, keine Prognose einer konkreten Krankheit.

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