Warum liefern Zufallspunkte gerade π?

Die Wahrscheinlichkeit, den Kreis zu treffen, ist das Flächenverhältnis π/4. Das Zählen der Treffer misst diese Wahrscheinlichkeit. Die geometrische Flächenaufgabe wird zur statistischen Zählung.

Warum wird die Schätzung manchmal schlechter, wenn mehr Punkte dazukommen?

Die Konvergenz ist statistisch, nicht monoton. Ein kurzes Punktepaket kann die Schätzung durch Schwankungen von π wegziehen. Das Gesetz der großen Zahlen betrifft den Trend bei großem N, nicht jeden einzelnen Schritt.

Rechnet man π in der Praxis so?

Nein: für viele Stellen gibt es schnelle deterministische Reihen. Das Monte-Carlo-Verfahren ist hier didaktisch. Dieselbe Idee trägt bei schwierigen mehrdimensionalen Integralen, wo Gitter nicht mehr reichen.

Was heißt „gleichverteilte Punkte“?

Jeder Punkt des Quadrats ist gleichwahrscheinlich, ohne Verschiebung zur Mitte oder zum Rand. Sonst wäre das Trefferverhältnis nicht mehr das Flächenverhältnis. Auf dem Rechner ist das ein Pseudozufallsgenerator.

Monte-Carlo-Schätzung von π

Gleichverteilte Zufallspunkte im Quadrat; Schätzung π ≈ 4·(Punkte im Kreis)/N.

Zum Modell

Die Monte-Carlo-Schätzung von π wirft gleichverteilte Punkte ins Quadrat [−1, 1]² und zählt den Anteil, der im Einheitskreis x² + y² ≤ 1 landet. Das Flächenverhältnis ist π/4, daher π ≈ 4M/N, wobei M die Zahl der Treffer und N die Zahl der Versuche ist. Die Punkte sind unabhängig, der Generator gilt als gleichverteilt. Nach dem Gesetz der großen Zahlen konvergiert die Schätzung mit wachsendem N gegen π, der Weg ist jedoch verrauscht: ein kurzes Punktepaket kann die Schätzung vorübergehend verschlechtern. Für genaue Stellen von π gibt es viel schnellere Reihen; hier zählt der geometrische Sinn der Wahrscheinlichkeit.

Für wen: Wahrscheinlichkeitstheorie und numerische Verfahren: geometrische Wahrscheinlichkeit, Monte-Carlo-Verfahren.

Wichtige Begriffe

monte-carlo-verfahren
geometrische wahrscheinlichkeit
gleichverteilung
gesetz der großen zahlen
schätzung von π
flächenverhältnis

So funktioniert es

Gleichverteilte Punkte im Quadrat [−1, 1]² treffen den Einheitskreis mit der Wahrscheinlichkeit π/4. Die Schätzung ist π ≈ 4·(Treffer)/N. Auf dem Bildschirm Punkte innerhalb und außerhalb des Kreises; mit wachsendem N nähert sich die Schätzung π, die Streuung fällt ungefähr wie 1/√N.

Häufige Fragen

Warum liefern Zufallspunkte gerade π?: Die Wahrscheinlichkeit, den Kreis zu treffen, ist das Flächenverhältnis π/4. Das Zählen der Treffer misst diese Wahrscheinlichkeit. Die geometrische Flächenaufgabe wird zur statistischen Zählung.
Warum wird die Schätzung manchmal schlechter, wenn mehr Punkte dazukommen?: Die Konvergenz ist statistisch, nicht monoton. Ein kurzes Punktepaket kann die Schätzung durch Schwankungen von π wegziehen. Das Gesetz der großen Zahlen betrifft den Trend bei großem N, nicht jeden einzelnen Schritt.
Rechnet man π in der Praxis so?: Nein: für viele Stellen gibt es schnelle deterministische Reihen. Das Monte-Carlo-Verfahren ist hier didaktisch. Dieselbe Idee trägt bei schwierigen mehrdimensionalen Integralen, wo Gitter nicht mehr reichen.
Was heißt „gleichverteilte Punkte“?: Jeder Punkt des Quadrats ist gleichwahrscheinlich, ohne Verschiebung zur Mitte oder zum Rand. Sonst wäre das Trefferverhältnis nicht mehr das Flächenverhältnis. Auf dem Rechner ist das ein Pseudozufallsgenerator.

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