Worin unterscheidet sich die Logistik von der Exponentialfunktion dN/dt = rN?

Die Exponentialfunktion setzt unbegrenzte Ressourcen voraus und läuft ins Unendliche. Die Logistik setzt die Decke K: der Faktor (1 − N/K) bremst das Wachstum, die Kurve läuft auf ein Plateau, nicht in einen J-förmigen Anstieg.

Ist die Umweltkapazität K in der Natur konstant?

Nein, das ist eine Vereinfachung. Dürre, Nahrung und Krankheit verschieben K. Im Modell ist K konstant — die theoretische Grundlage; wirkliche Bestände schwanken oft um eine wandernde Decke.

Wozu braucht man die exakte Lösung N(t)?

Sie liefert den Bestand zu jedem Zeitpunkt ohne Zeitschritt und bestätigt, dass der Grenzwert für t → ∞ gleich K ist. Hier steht der Graph nach der Formel, nicht nach dem Euler-Verfahren, damit man den Schemafehler nicht mit dem Modell vermengt.

Beschreibt man so nur Tierpopulationen?

Nein. Dieselbe Gleichung ist die Schablone jedes Wachstums mit Decke: Einführung einer Technik, Sättigung eines Publikums, vereinfachtes Tumorwachstum. Der Sinn des Faktors (1 − N/K) ist derselbe — Ressourcenmangel.

Logistisches Wachstum

Logistische Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K): S-Kurve und Einlauf auf die Umweltkapazität K. Der Graph ist die exakte Lösung, kein Euler-Schritt.

Zum Modell

Logistisches Wachstum beschreibt eine Population bei begrenzten Ressourcen. Anders als die Exponentialfunktion dN/dt = rN führt die Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K) die Umweltkapazität K ein — den größten dauerhaften Bestand. Bei N ≪ K ist der Faktor (1 − N/K) ≈ 1, das Wachstum fast exponentiell; nähert sich N an K, fällt die Rate auf null, die Kurve N(t) läuft auf ein Plateau — die typische S-Form (sigmoidförmig). Die exakte Lösung lautet N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) e^{−rt}). Verändert werden r, K, N₀ und die Intervalllänge. Altersstruktur, Verzögerung und veränderliches K fehlen: das ist das Grundmodell dichteabhängigen Wachstums in der Ökologie und in Aufgaben zu DGL.

Für wen: Ökologie und gewöhnliche Differentialgleichungen: begrenztes Wachstum, Umweltkapazität.

Wichtige Begriffe

logistisches wachstum
umweltkapazität
intrinsische wachstumsrate
logistische gleichung
sigmoidkurve
populationsdynamik
dichteabhängiges wachstum
exponentielles wachstum

So funktioniert es

Logistische Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K): zuerst fast exponentielles Wachstum, danach Sättigung auf dem Niveau K. Der Graph folgt der exakten Lösung N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) e^{−rt}), nicht einem Euler-Schritt. Die Schieberegler r, K und N₀ ändern Steilheit und Decke der S-Kurve.

Wichtige Gleichungen

N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) e^(−rt))

Häufige Fragen

Worin unterscheidet sich die Logistik von der Exponentialfunktion dN/dt = rN?: Die Exponentialfunktion setzt unbegrenzte Ressourcen voraus und läuft ins Unendliche. Die Logistik setzt die Decke K: der Faktor (1 − N/K) bremst das Wachstum, die Kurve läuft auf ein Plateau, nicht in einen J-förmigen Anstieg.
Ist die Umweltkapazität K in der Natur konstant?: Nein, das ist eine Vereinfachung. Dürre, Nahrung und Krankheit verschieben K. Im Modell ist K konstant — die theoretische Grundlage; wirkliche Bestände schwanken oft um eine wandernde Decke.
Wozu braucht man die exakte Lösung N(t)?: Sie liefert den Bestand zu jedem Zeitpunkt ohne Zeitschritt und bestätigt, dass der Grenzwert für t → ∞ gleich K ist. Hier steht der Graph nach der Formel, nicht nach dem Euler-Verfahren, damit man den Schemafehler nicht mit dem Modell vermengt.
Beschreibt man so nur Tierpopulationen?: Nein. Dieselbe Gleichung ist die Schablone jedes Wachstums mit Decke: Einführung einer Technik, Sättigung eines Publikums, vereinfachtes Tumorwachstum. Der Sinn des Faktors (1 − N/K) ist derselbe — Ressourcenmangel.

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