Warum ist v(t) bei konstantem a eine schräge Gerade?

Konstante Beschleunigung heißt: in jeder Sekunde ändert sich die Geschwindigkeit um denselben Betrag. Das Integral einer Konstanten ist eine lineare Funktion, die Steigung dieser Geraden ist a. Bei a > 0 wächst die Geschwindigkeit, bei a < 0 fällt sie.

Was liefert die Fläche unter dem Graphen v(t)?

Die Änderung des Orts (die Verschiebung) in diesem Intervall. Ebenso ist die Fläche unter a(t) die Änderung der Geschwindigkeit. Das ist das schulische Lesen von Graphen: das Integral als Fläche.

Wenn die Geschwindigkeit null wird, bleibt der Körper dann stehen?

Nein, nur in diesem Augenblick ist v = 0. Ist die Beschleunigung nicht null, wird die Geschwindigkeit sogleich wieder ungleich null und der Körper fährt weiter — oft in die andere Richtung. Auf dem Graphen x(t) liegt dort meist ein Extremum.

Worin unterscheidet sich der Graph x(t) vom Weg-Zeit-Graphen?

Der Ort x kann wachsen und fallen, der Weg wird nur aufaddiert. Hier wird x(t) gezeichnet: wechselt das Vorzeichen der Geschwindigkeit, kehrt der Körper um und die Kurve geht nach unten.

Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort

Q: Was liefert die Fläche unter dem Graphen v(t)?

Die Änderung des Orts (die Verschiebung) in diesem Intervall. Ebenso ist die Fläche unter a(t) die Änderung der Geschwindigkeit. Das ist das schulische Lesen von Graphen: das Integral als Fläche.

Q: Wenn die Geschwindigkeit null wird, bleibt der Körper dann stehen?

Nein, nur in diesem Augenblick ist v = 0. Ist die Beschleunigung nicht null, wird die Geschwindigkeit sogleich wieder ungleich null und der Körper fährt weiter — oft in die andere Richtung. Auf dem Graphen x(t) liegt dort meist ein Extremum.

Q: Worin unterscheidet sich der Graph x(t) vom Weg-Zeit-Graphen?

Der Ort x kann wachsen und fallen, der Weg wird nur aufaddiert. Hier wird x(t) gezeichnet: wechselt das Vorzeichen der Geschwindigkeit, kehrt der Körper um und die Kurve geht nach unten.

Aus gegebenem a(t) entstehen v(t) und x(t): die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung, der Ort das Integral der Geschwindigkeit. Drei Graphen auf derselben Zeitachse.

Zum Modell

Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort hängen in der eindimensionalen Kinematik zusammen: v = dx/dt, a = dv/dt. Ist a(t) gegeben, so gilt v(t) = v₀ + ∫ a dt, x(t) = x₀ + ∫ v dt. Bei konstanter Beschleunigung aus der Ruhe: v = at, x = ½at². Die Fläche unter a(t) in einem Intervall ist die Änderung der Geschwindigkeit; die Fläche unter v(t) die Verschiebung. Drei Graphen teilen die Zeitachse: die Steigung von v(t) ist a, die Steigung von x(t) ist v. Kräfte und Widerstand fehlen: a(t) geben Sie direkt vor (konstant oder kurzer Impuls). Die Bewegung startet aus der Ruhe im Ursprung.

Für wen: 9.–10. Klasse, Kinematik: Zusammenhang der Graphen a(t), v(t) und x(t).

Wichtige Begriffe

kinematik
beschleunigung
geschwindigkeit
ort
graph a(t)
fläche unter der kurve
verschiebung

So funktioniert es

Sie geben a(t) vor — konstant oder als Impuls. Die Geschwindigkeit folgt durch Integration: Δv = Fläche unter a(t); der Ort durch Integration der Geschwindigkeit: Δx = Fläche unter v(t). Bei konstantem a aus der Ruhe gilt v = at, x = ½at². Auf dem Bildschirm drei synchrone Graphen: die Steigung von v ist a, die Steigung von x ist v.

Häufige Fragen

Warum ist v(t) bei konstantem a eine schräge Gerade?: Konstante Beschleunigung heißt: in jeder Sekunde ändert sich die Geschwindigkeit um denselben Betrag. Das Integral einer Konstanten ist eine lineare Funktion, die Steigung dieser Geraden ist a. Bei a > 0 wächst die Geschwindigkeit, bei a < 0 fällt sie.
Was liefert die Fläche unter dem Graphen v(t)?: Die Änderung des Orts (die Verschiebung) in diesem Intervall. Ebenso ist die Fläche unter a(t) die Änderung der Geschwindigkeit. Das ist das schulische Lesen von Graphen: das Integral als Fläche.
Wenn die Geschwindigkeit null wird, bleibt der Körper dann stehen?: Nein, nur in diesem Augenblick ist v = 0. Ist die Beschleunigung nicht null, wird die Geschwindigkeit sogleich wieder ungleich null und der Körper fährt weiter — oft in die andere Richtung. Auf dem Graphen x(t) liegt dort meist ein Extremum.
Worin unterscheidet sich der Graph x(t) vom Weg-Zeit-Graphen?: Der Ort x kann wachsen und fallen, der Weg wird nur aufaddiert. Hier wird x(t) gezeichnet: wechselt das Vorzeichen der Geschwindigkeit, kehrt der Körper um und die Kurve geht nach unten.

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