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Startseite/Mathematische Visualisierung/Rössler-Attraktor

Rössler-Attraktor

Integration der Gleichung ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) mit Runge–Kutta vierter Ordnung; Periodenverdopplungskaskade bei wachsendem c.

Parameter

0.2
0.2
5.7
1

Projektion

Voreinstellungen

Gemessene Größen

x1.00
y1.00
z1.00
Lyapunov-Hinweis λ₁≈ +0.07 (chaotisch)
Attraktortypseltsamer Attraktor

Zum Modell

Der Rössler-Attraktor entsteht aus dem dreidimensionalen autonomen System ẋ = −y − z, ẏ = x + a y, ż = b + z(x − c). Bei den klassischen Parametern (häufig a = b = 0.2, c ≈ 5.7) wickeln sich die Bahnen auf einen einbändigen chaotischen Attraktor. Die Gleichungen werden mit dem Runge–Kutta-Verfahren vierter Ordnung integriert. Den Parameter c kann man durch die Periodenverdopplungskaskade führen: von stabilen periodischen Orbits zum seltsamen Attraktor. Die Bahn wird im Phasenraum gezeichnet — Strecken und Falten werden sichtbar. Das Modell ist deterministisches Chaos gewöhnlicher Differentialgleichungen: ohne Rauschen, ohne Verzögerung und ohne eigenen Poincaré-Schnitt. Mit c vergleicht man periodischen Verlauf und Chaos.

Für wen: Nichtlineare Dynamik und Chaostheorie: stetige Attraktoren, Periodenverdopplung.

Wichtige Begriffe

  • rössler-attraktor
  • deterministisches chaos
  • periodenverdopplung
  • runge-kutta-verfahren
  • seltsamer attraktor
  • phasenraum

So funktioniert es

Das Rössler-System ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) wird mit dem Runge–Kutta-Verfahren vierter Ordnung integriert. Wächst c, durchläuft der periodische Orbit die Periodenverdopplungskaskade und geht in einen einbändigen seltsamen Attraktor über. Auf dem Schirm steht die Bahn im Phasenraum (x, y, z).

Wichtige Gleichungen

ẋ = −y − z
ẏ = x + a y
ż = b + z (x − c)

Häufige Fragen

Was ist eine Periodenverdopplungskaskade?
Wächst ein Parameter wie c, kann ein stabiler periodischer Orbit die Stabilität verlieren und durch einen Orbit doppelter Periode ersetzt werden, dann vierfacher und so weiter. Die Kaskade häuft sich bei einem endlichen Parameterwert, jenseits dessen Chaos auftritt.
Warum Runge–Kutta vierter Ordnung und nicht ein Euler-Schritt?
Chaotische Bahnen verstärken örtliche Fehler. Das Runge–Kutta-Verfahren vierter Ordnung mit festem Schritt ist auf kurzen Zeiten genau genug, damit die Geometrie des Attraktors lesbar bleibt; ein grobes Euler-Verfahren verschmiert oder zerstört sie beim selben Schritt.
Ist die Empfindlichkeit gegen Anfangswerte ein Schemafehler?
Nein: so definiert man deterministisches Chaos. Zwei nahe Bahnen laufen auf dem Attraktor exponentiell auseinander und bleiben zugleich in einer beschränkten, fraktal anmutenden Menge des Phasenraums.