Warum fehlen bei manchen Matrizen die Pfeile?

Die Pfeile stehen nur bei reellen Eigenwerten. Sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms komplex, gibt es in der reellen Ebene keine invarianten Geraden: die Abbildung dreht und streckt, lässt aber keine reelle Eigenrichtung stehen.

Warum liegen zwei Pfeile auf einer Geraden und zeigen entgegengesetzt?

Der Eigenvektor legt eine Gerade fest, nicht einen einzelnen Pfeil. Bei λ > 0 behalten die Vektoren auf dieser Geraden die Orientierung; bei λ < 0 werden sie gespiegelt. Beide Pfeile zeigen dieselbe Eigenrichtung.

Kann eine 2×2-Matrix mehr als zwei Eigenrichtungen haben?

Linear unabhängige Eigenvektoren gibt es höchstens zwei. Der Sonderfall ist ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix, etwa [[2, 0], [0, 2]]: dann ist jeder von null verschiedene Vektor ein Eigenvektor, und die Abbildung ist eine gleichmäßige Streckung.

Wie hängt das mit Spur und Determinante zusammen?

Die charakteristische Gleichung lautet λ² − (tr M)λ + det M = 0. Das Vorzeichen der Diskriminante (tr M)² − 4 det M entscheidet, ob die λ reell sind. Dieselben Invarianten liest man an den Schiebereglern a, b, c, d ab.

2×2-Matrix und Eigenvektoren

Q: Kann eine 2×2-Matrix mehr als zwei Eigenrichtungen haben?

Linear unabhängige Eigenvektoren gibt es höchstens zwei. Der Sonderfall ist ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix, etwa [[2, 0], [0, 2]]: dann ist jeder von null verschiedene Vektor ein Eigenvektor, und die Abbildung ist eine gleichmäßige Streckung.

Q: Wie hängt das mit Spur und Determinante zusammen?

Die charakteristische Gleichung lautet λ² − (tr M)λ + det M = 0. Das Vorzeichen der Diskriminante (tr M)² − 4 det M entscheidet, ob die λ reell sind. Dieselben Invarianten liest man an den Schiebereglern a, b, c, d ab.

Lineare Abbildung der Ebene durch die Matrix M: das quadratische Gitter wird zum Parallelogrammgitter. Bei reellen λ stehen Pfeile längs der invarianten Richtungen.

Zum Modell

Eine 2×2-Matrix und ihre Eigenvektoren: die Matrix definiert eine lineare Abbildung der Ebene, v′ = Mv. Das quadratische Koordinatengitter wird zum Parallelogrammgitter — Streckung, Scherung, Stauchung oder Drehung. Ein Eigenvektor x ist ein von null verschiedener Vektor, dessen Richtung sich nicht ändert: Mx = λx. Der Eigenwert λ sagt, ob der Vektor gestreckt wird (|λ| > 1), gestaucht (|λ| < 1), die Orientierung wechselt (λ < 0) oder die Länge behält (|λ| = 1). Auf der rechten Seite werden bei reellen λ Pfeile längs der Eigenrichtungen gezeichnet, die Länge hängt mit |λ| zusammen. Komplexe Eigenwerte entsprechen einer Drehung ohne invariante Geraden in der reellen Ebene — dann fehlen die Pfeile, das Gitter verformt sich trotzdem. Spur, Determinante und die charakteristische Gleichung det(M − λI) = 0 entscheiden, ob es ein reelles Richtungspaar gibt.

Für wen: Lineare Algebra: lineare Abbildungen, Eigenvektoren, charakteristische Gleichung.

Wichtige Begriffe

lineare abbildung
eigenvektor
eigenwert
matrix-vektor-produkt
determinante
charakteristische gleichung
invariante richtung
diagonalisierung

So funktioniert es

Die Abbildung (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy) führt das quadratische Gitter in ein Parallelogrammgitter über. Bei reellen λ liegen die Eigenvektoren auf Richtungen, die nur skaliert werden: auf der rechten Seite zwei Pfeile vom Ursprung, wenn die Diskriminante ≥ 0 ist. Komplexe λ bedeuten, dass in ℝ² kein Paar reeller Eigengeraden existiert.

Wichtige Gleichungen

det(M − λI) = 0 · tr = a+d · det = ad − bc

Häufige Fragen

Warum fehlen bei manchen Matrizen die Pfeile?: Die Pfeile stehen nur bei reellen Eigenwerten. Sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms komplex, gibt es in der reellen Ebene keine invarianten Geraden: die Abbildung dreht und streckt, lässt aber keine reelle Eigenrichtung stehen.
Warum liegen zwei Pfeile auf einer Geraden und zeigen entgegengesetzt?: Der Eigenvektor legt eine Gerade fest, nicht einen einzelnen Pfeil. Bei λ > 0 behalten die Vektoren auf dieser Geraden die Orientierung; bei λ < 0 werden sie gespiegelt. Beide Pfeile zeigen dieselbe Eigenrichtung.
Kann eine 2×2-Matrix mehr als zwei Eigenrichtungen haben?: Linear unabhängige Eigenvektoren gibt es höchstens zwei. Der Sonderfall ist ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix, etwa [[2, 0], [0, 2]]: dann ist jeder von null verschiedene Vektor ein Eigenvektor, und die Abbildung ist eine gleichmäßige Streckung.
Wie hängt das mit Spur und Determinante zusammen?: Die charakteristische Gleichung lautet λ² − (tr M)λ + det M = 0. Das Vorzeichen der Diskriminante (tr M)² − 4 det M entscheidet, ob die λ reell sind. Dieselben Invarianten liest man an den Schiebereglern a, b, c, d ab.

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