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Startseite/Mathematische Visualisierung/Chaos-Spiel (Sierpiński-Dreieck)

Chaos-Spiel (Sierpiński-Dreieck)

Zufällige Wahl einer Dreiecksecke und Schritt zur Streckenmitte: die Punktewolke läuft auf das Sierpiński-Dreieck zu. Die Farbe nach gewählter Ecke zeigt die drei selbstähnlichen Teile.

Ablauf

1800
0.14

Das eingeschränkte Chaos-Spiel (zur Ecke auf halbem Weg) läuft auf das durchlöcherte Dreieck zu. Vergleichen Sie monochrom und RGB — die selbstähnliche Zerlegung wird sichtbar.

Tastenkürzel

  • •Leertaste / Eingabe — Pause / Fortsetzen
  • •R — Akkumulation zurücksetzen

Gemessene Größen

Iterationen insgesamt0

Zum Modell

Das Chaos-Spiel erzeugt das Sierpiński-Dreieck als Attraktor eines iterierten Funktionensystems. Vorgegeben sind drei Ecken eines gleichseitigen Dreiecks; der Startpunkt ist der Schwerpunkt. In jedem Schritt wird gleichwahrscheinlich eine Ecke V_k gewählt, und der aktuelle Punkt wandert zur Streckenmitte: P ← (P + V_k)/2. Die drei kontrahierenden Abbildungen f_k(x) = (x + V_k)/2 besitzen eine einzige invariante kompakte Menge — das Sierpiński-Dreieck; im Idealfall ist seine Hausdorff-Dimension log 3 / log 2. Die Färbung nach Eckenindex zerlegt das Muster in drei selbstähnliche Kopien. Die Punkte sammeln sich im Raster: Tintenstärke und Iterationen pro Bild lassen sich ändern. Der Zufall wählt nur die Abbildung, die Geometrie des Attraktors ist deterministisch.

Für wen: Schule und Studienbeginn: Fraktale, Wahrscheinlichkeit, Iteration.

Wichtige Begriffe

  • chaos-spiel
  • sierpiński-dreieck
  • iteriertes funktionensystem
  • affine kontraktion
  • attraktor
  • selbstähnlichkeit
  • fraktale dimension

So funktioniert es

Chaos-Spiel auf dem gleichseitigen Dreieck: vom Punkt P wird eine zufällige Ecke V_k gewählt, dann P ← (P + V_k)/2. Die unendliche Iteration der drei kontrahierenden Abbildungen ergibt das Sierpiński-Dreieck. Die Farbe nach Eckenindex zeigt, wie drei selbstähnliche Teile zum ganzen Muster zusammengefügt werden.

Wichtige Gleichungen

P ← (P + V_k) / 2 , k ∈ {0,1,2} gleichverteilt

Häufige Fragen

Warum liefert eine zufällige Regel immer dieselbe Figur?
Der Zufall wählt nur, welche kontrahierende Abbildung angewendet wird. Fast jede unendliche Folge von Wahlen füllt die einzige invariante kompakte Menge des Systems — das Sierpiński-Dreieck, nicht einen verschwommenen Fleck.
Muss man streng innerhalb des Dreiecks starten?
Von jedem Startpunkt aus läuft die Wolke nach einer kurzen Anfangsphase visuell ins Sierpiński-Dreieck; ein ferner Start lässt eine längere Spur. Der Start im Schwerpunkt nimmt den sichtbaren Anfangsfaden weg.
Was ändert das Abschalten der Farbe nach Ecke?
Derselbe Attraktor ohne dreifarbige Zerlegung: monochrom betont die Dichte, Farbe zeigt, wie drei selbstähnliche Kopien zusammengefügt werden.
Dieselbe Regel auf dem Quadrat mit vier Ecken?
Beim Schritt „zur zufälligen Ecke auf halbem Weg“ füllt die Wolke auf dem Quadrat die Fläche meist dichter und läuft nicht auf ein dünnes Fraktal zu. Die drei Abbildungen des gleichseitigen Dreiecks sind hier besonders.