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Startseite/Mathematische Visualisierung/Geometrie der Hauptkomponentenanalyse (PCA) / SVD

Geometrie der Hauptkomponentenanalyse (PCA) / SVD

Kovarianzellipse und Dimensionsreduktion über die Singulärwertzerlegung: Hauptkomponenten, erklärte Varianz und Rekonstruktionsfehler vom Rang 1.

Datenwolke

2.2
0.75
32°
1

Gemessene Größen

Varianz PC189.6%
Varianz PC210.4%
Rekonstruktions-RMSE0.750

Die gelben Punkte zeigen die Rekonstruktion vom Rang 1: die Projektion der Daten auf die erste Hauptkomponente.

Diagramme

Zum Modell

Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) dreht die Datenwolke in orthogonale Richtungen maximaler Varianz. In der Ebene sieht man die Kovarianzellipse, die Achsen der Hauptkomponenten, die Anteile der erklärten Varianz und die Rekonstruktion vom Rang 1 — die Projektion der Punkte auf die erste Hauptkomponente. Für die zentrierte Datenmatrix liefert die Singulärwertzerlegung X = UΣVᵀ die Hauptrichtungen in den Spalten von V, die Quadrate der Singulärwerte die Beiträge zur Varianz. Die verworfene zweite Komponente ist das geometrische Bild des Rekonstruktionsfehlers.

Für wen: Lineare Algebra und Datenanalyse: Singulärwertzerlegung, Kovarianz, Dimensionsreduktion.

Wichtige Begriffe

  • hauptkomponentenanalyse (pca)
  • singulärwertzerlegung
  • kovarianzmatrix
  • erklärte varianz
  • rekonstruktion vom rang 1
  • hauptkomponente

So funktioniert es

Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) sucht orthogonale Achsen, längs derer die Varianz maximal ist. Für die zentrierte Datenmatrix X=UΣV^T geben die Vektoren aus V die Hauptkomponenten, σ_i²/Σσ_j² den Anteil der erklärten Varianz. Bleibt nur PC1, wird jeder Punkt auf eine Gerade projiziert: das ist die Rekonstruktion vom Rang 1, und die verlorene Streuung längs PC2 wird zum Rekonstruktionsfehler.

Wichtige Gleichungen

X = UΣVᵀ; Eigenvektoren der Kovarianz geben die Hauptachsen
Anteil der erklärten Varianz = σ_i² / Σ σ_j²

Häufige Fragen

Warum stehen die Hauptkomponenten senkrecht aufeinander?
Die Kovarianzmatrix ist symmetrisch, daher sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) nimmt diese Vektoren als neue Koordinatenachsen.
Was bedeutet der Rekonstruktionsfehler?
Behält man nur die erste Komponente, geht die Streuung längs der verworfenen zweiten verloren. Die restliche Streuung auf der zweiten Achse ist das geometrische Bild des Rekonstruktionsfehlers vom Rang 1.
Wie hängt die Hauptkomponentenanalyse (PCA) mit der Singulärwertzerlegung zusammen?
Für die zentrierte Datenmatrix X liefert die Zerlegung X = UΣVᵀ die Hauptrichtungen in den Spalten von V, die Quadrate der Singulärwerte die Beiträge zur Varianz. Die Geometrie in der Ebene ist dieses Bild für zwei Koordinaten.