Warum geht die Kurve nicht immer durch die mittleren Kontrollpunkte?

Bei der üblichen Bézier-Kurve werden nur die Enden interpoliert. Innere Punkte ziehen und formen die Kurve, liegen aber in der Regel nicht auf ihr: sie legen die Bernstein-Mischung fest, nicht einen Streckenzug durch alle Ecken.

Worin ist de Casteljau der Bernstein-Formel voraus?

Beide beschreiben dieselbe Kurve. Der Algorithmus von de Casteljau ist numerisch stabil und geometrisch: jeder Schritt ist eine lineare Interpolation, die man zeichnen kann.

Was geschieht, wenn alle Kontrollpunkte auf einer Geraden liegen?

Die Bézier-Kurve fällt auf diese Strecke zusammen (weiterhin parametrisiert durch t). Die Zwischeninterpolationen bleiben auf der Geraden: die Auswertung erhält affine Kombinationen.

Bézier-Kurven und de Casteljau

Kontrollpunkte legen die Bézier-Kurve fest; der Algorithmus von de Casteljau baut B(t) durch geschachtelte lineare Interpolation.

Zum Modell

Eine Bézier-Kurve vom Grad n wird durch die Kontrollpunkte P₀, …, Pₙ festgelegt und über Bernstein-Polynome oder den Algorithmus von de Casteljau berechnet: geschachtelte lineare Interpolation B(t) = (1 − t)A + tB. Die Kontrollpunkte lassen sich ziehen; die Zwischenstrecken erscheinen sogleich und zeigen, wie die Kurve aus dem Kontrollpolygon entsteht. Der Parameter t ∈ [0, 1] läuft von P₀ nach Pₙ; die Kurve bleibt in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte. Interpoliert werden nur die Enden; innere Punkte ziehen die Kurve an, liegen aber in der Regel nicht auf ihr. Es geht um die Geometrie der Auswertung — nicht um das Aneinanderfügen von Splines, um NURBS-Gewichte und nicht um die Anpassung an Daten.

Für wen: Computergrafik und algorithmische Geometrie: Bézier-Kurven, Algorithmus von de Casteljau.

Wichtige Begriffe

bézier-kurve
algorithmus von de casteljau
kontrollpunkte
bernstein-polynome
lineare interpolation
konvexe hülle

So funktioniert es

Die Bézier-Kurve B(t) entsteht mit dem Algorithmus von de Casteljau: auf jeder Stufe werden benachbarte Punkte linear mit dem Parameter t ∈ [0, 1] interpoliert. Auf dem Schirm sieht man das Kontrollpolygon, die Zwischenstrecken und den Punkt B(t). Die Kurve geht durch die Enden und liegt in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte.

Wichtige Gleichungen

B(t) = Σᵢ C(n,i) (1−t)ⁿ⁻ⁱ tⁱ Pᵢ

de Casteljau: Pᵢ⁾ʳ⁾ = (1−t)Pᵢ⁾ʳ⁻¹⁾ + t Pᵢ₊₁⁾ʳ⁻¹⁾

B(t) = P₀⁾ⁿ⁾, cost: O(n²)

Häufige Fragen

Warum geht die Kurve nicht immer durch die mittleren Kontrollpunkte?: Bei der üblichen Bézier-Kurve werden nur die Enden interpoliert. Innere Punkte ziehen und formen die Kurve, liegen aber in der Regel nicht auf ihr: sie legen die Bernstein-Mischung fest, nicht einen Streckenzug durch alle Ecken.
Worin ist de Casteljau der Bernstein-Formel voraus?: Beide beschreiben dieselbe Kurve. Der Algorithmus von de Casteljau ist numerisch stabil und geometrisch: jeder Schritt ist eine lineare Interpolation, die man zeichnen kann.
Was geschieht, wenn alle Kontrollpunkte auf einer Geraden liegen?: Die Bézier-Kurve fällt auf diese Strecke zusammen (weiterhin parametrisiert durch t). Die Zwischeninterpolationen bleiben auf der Geraden: die Auswertung erhält affine Kombinationen.

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