Warum verschmiert das Upwind-Verfahren den Impuls?

Bei positiver Geschwindigkeit ersetzt das Upwind-Verfahren die Ableitung durch eine zurückversetzte Differenz. In der modifizierten Gleichung erscheint ein künstlicher Diffusionsterm proportional zu (1 − ν)Δx, daher werden Unstetigkeiten gedämpft und verbreitert statt exakt verschoben.

Warum geben Lax-Wendroff und MacCormack Überschwinger an Sprüngen?

Es sind Verfahren zweiter Ordnung mit geringerer Diffusion. An einer Unstetigkeit erhalten hochfrequente Anteile Phasenfehler — das ergibt Dispersionsschwingungen. Denselben Konflikt von Monotonie und hoher Genauigkeit lösen Begrenzer beschränkter Variation und moderne hochauflösende Verfahren.

Was bedeutet die Courant-Zahl ν hier?

ν = cΔt/Δx — wie viele Zellen die Information in einem Zeitschritt durchläuft. Für diese expliziten Verfahren des linearen Transports liegt das grundlegende Stabilitätsgebiet etwa bei ν ≤ 1. Bei größerem ν hält der numerische Abhängigkeitsbereich mit der Gleichung nicht Schritt.

Advektionsschemata: Upwind / LW / MacCormack

Linearer Transport u_t + c u_x = 0 auf periodischem Gitter: Diffusion des Upwind-Verfahrens, Dispersionsschwingungen von Lax-Wendroff und MacCormack, exakte Verschiebung des Impulses, L2-Fehler und Courant-Zahl ν.

Zum Modell

Advektionsschemata für die lineare Transportgleichung u_t + c u_x = 0 mit konstanter Geschwindigkeit auf einem periodischen eindimensionalen Gitter machen numerische Artefakte sofort sichtbar: die exakte Lösung ist nur die Verschiebung des Anfangsimpulses. Das Upwind-Verfahren erster Ordnung nimmt den Wert von der anströmenden Seite und ist monoton bei ν = cΔt/Δx ≤ 1, bringt aber numerische Diffusion: Rechteckimpulse werden verschmiert. Das Lax-Wendroff-Verfahren fügt eine Korrektur zweiter Ordnung hinzu und hält die Front besser, gibt an Unstetigkeiten aber Dispersionsschwingungen — Überschwingen und Einbrüche. Das MacCormack-Verfahren (Prädiktor-Korrektor) ist für glatte Wellen ebenfalls von zweiter Ordnung und hat ähnliches Schwingen an scharfen Fronten. Die drei Verfahren laufen parallel, darüber liegt die exakte Verschiebung; unten der punktweise Fehler.

Für wen: Numerische Verfahren für Transportgleichungen: Courant-Bedingung, Monotonie und Verfahren zweiter Ordnung.

Wichtige Begriffe

lineare advektion
upwind-verfahren
lax-wendroff-verfahren
maccormack-verfahren
courant-bedingung
numerische diffusion
numerische dispersion
finite differenzen

So funktioniert es

u_t + c u_x = 0 auf einem periodischen 1D-Gitter: die weiße Strichlinie ist die exakte Verschiebung des Impulses. Das Upwind-Verfahren ist monoton, verschmiert aber; Lax-Wendroff und MacCormack sind von zweiter Ordnung, schärfer an glatten Stellen, geben an Unstetigkeiten aber Dispersionsschwingungen. Der Schieberegler ν = cΔt/Δx zeigt die Grenze CFL ≤ 1.

Wichtige Gleichungen

u_t + c u_x = 0, ν = cΔt/Δx. Upwind: u_i^{n+1}=u_i^n−ν(u_i^n−u_{i−1}^n). Lax-Wendroff adds (ν²/2)(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1}); MacCormack uses predictor-corrector. Stable range here: roughly ν ≤ 1.

Häufige Fragen

Warum verschmiert das Upwind-Verfahren den Impuls?: Bei positiver Geschwindigkeit ersetzt das Upwind-Verfahren die Ableitung durch eine zurückversetzte Differenz. In der modifizierten Gleichung erscheint ein künstlicher Diffusionsterm proportional zu (1 − ν)Δx, daher werden Unstetigkeiten gedämpft und verbreitert statt exakt verschoben.
Warum geben Lax-Wendroff und MacCormack Überschwinger an Sprüngen?: Es sind Verfahren zweiter Ordnung mit geringerer Diffusion. An einer Unstetigkeit erhalten hochfrequente Anteile Phasenfehler — das ergibt Dispersionsschwingungen. Denselben Konflikt von Monotonie und hoher Genauigkeit lösen Begrenzer beschränkter Variation und moderne hochauflösende Verfahren.
Was bedeutet die Courant-Zahl ν hier?: ν = cΔt/Δx — wie viele Zellen die Information in einem Zeitschritt durchläuft. Für diese expliziten Verfahren des linearen Transports liegt das grundlegende Stabilitätsgebiet etwa bei ν ≤ 1. Bei größerem ν hält der numerische Abhängigkeitsbereich mit der Gleichung nicht Schritt.

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