Warum einmal eine geschlossene „Acht“, einmal ein verworrenes Knäuel?

Eine geschlossene Figur entsteht nur bei rationalem Frequenzverhältnis ωₓ : ωᵧ (etwa 3:2). Dann kehrt der Punkt nach endlicher Zeit in dieselbe Phase zurück. Bei irrationalem Verhältnis gibt es keine gemeinsame Periode, und die Spur füllt allmählich das Rechteck.

Was ändert die Phase bei gleichen Frequenzen?

Bei ωₓ = ωᵧ bestimmt die Verschiebung φ die Form der Ellipse. Bei φ = 0° (oder 180°) ist es eine Diagonale; bei 90° ein Kreis (hier sind die Amplituden gleich); bei den übrigen Winkeln eine Ellipse.

Wo begegnet man Lissajous-Figuren in der Praxis?

Am Oszilloskop legt man zwei Signale auf X und Y und vergleicht an der Figur Frequenzen und Phasenverschiebung. Dieselben Kurven entstehen bei zwei zueinander senkrechten Schwingungen in der Mechanik.

Lissajous-Figuren

Zwei harmonische Schwingungen auf zueinander senkrechten Achsen: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Ein ganzzahliges Frequenzverhältnis ergibt eine geschlossene Kurve.

Zum Modell

Lissajous-Figuren sind die Spur eines Punktes, dessen Achsen zwei harmonische Schwingungen führen: x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t). Die Form bestimmt das Frequenzverhältnis ωₓ : ωᵧ und die Phasenverschiebung φ. Bei rationalem Verhältnis (1:1, 1:2, 2:3, 3:4) ist die Kurve geschlossen und periodisch. Bei irrationalem Verhältnis schließt sich die Bahn nicht und füllt mit der Zeit das Rechteck. Bei gleichen Frequenzen ergibt die Phase 0° eine Strecke, 90° einen Kreis, dazwischen eine Ellipse. Die Amplituden sind hier 1, es gibt keine Dämpfung — anders als beim Harmonographen zieht sich die Schleife nicht zusammen. Solche Figuren erhält man am Oszilloskop, wenn man zwei Signale auf die Eingänge X und Y legt.

Für wen: Analysis und Schwingungen: Parametergleichungen und Überlagerung senkrecht zueinander stehender Harmonischer.

Wichtige Begriffe

lissajous-figuren
parametergleichungen
frequenzverhältnis
phasenverschiebung
harmonische schwingung
geschlossene kurve

So funktioniert es

Parametrische Lissajous-Figur: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Ganzzahlige Frequenzverhältnisse ergeben geschlossene Kurven; die Phase φ ändert die Form. Der gelbe Punkt läuft auf der Kurve. Am Oszilloskop vergleicht man so zwei harmonische Signale.

Wichtige Gleichungen

x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t)

Häufige Fragen

Warum einmal eine geschlossene „Acht“, einmal ein verworrenes Knäuel?: Eine geschlossene Figur entsteht nur bei rationalem Frequenzverhältnis ωₓ : ωᵧ (etwa 3:2). Dann kehrt der Punkt nach endlicher Zeit in dieselbe Phase zurück. Bei irrationalem Verhältnis gibt es keine gemeinsame Periode, und die Spur füllt allmählich das Rechteck.
Was ändert die Phase bei gleichen Frequenzen?: Bei ωₓ = ωᵧ bestimmt die Verschiebung φ die Form der Ellipse. Bei φ = 0° (oder 180°) ist es eine Diagonale; bei 90° ein Kreis (hier sind die Amplituden gleich); bei den übrigen Winkeln eine Ellipse.
Wo begegnet man Lissajous-Figuren in der Praxis?: Am Oszilloskop legt man zwei Signale auf X und Y und vergleicht an der Figur Frequenzen und Phasenverschiebung. Dieselben Kurven entstehen bei zwei zueinander senkrechten Schwingungen in der Mechanik.

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