Warum explodiert das explizite Verfahren bei r > 1/2?

Fourier-Moden des Fehlers werden je Schritt mit G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2) multipliziert. Für hochfrequente Moden und r > 1/2 gilt |G| > 1, daher wachsen selbst Rundung oder schwaches Schachbrettrauschen, obwohl die echte Wärmeleitungsgleichung alles glätten müsste.

Wenn das implizite Verfahren für jedes r stabil ist, warum nicht riesige Schritte nehmen?

Stabilität ist nicht Genauigkeit. Großes r dämpft die Moden übermäßig und kann den Übergang verschmieren. Implizite Verfahren erlauben große stabile Schritte, aber Δt wählt man weiter nach der geforderten Genauigkeit und den charakteristischen Zeiten der Aufgabe.

Welche Randbedingungen werden verwendet?

An beiden Enden steht u = 0 (homogene Dirichlet-Bedingungen), wie bei einem Stab, dessen Enden in einem Wärmebad festgehalten sind. Die Formeln gelten nur für die inneren Gitterpunkte.

Wärmeleitungsgleichung: finite Differenzen

Eindimensionales u_t = αu_xx: explizites FTCS und implizites Euler-Verfahren rückwärts; r = αΔt/Δx², Explosion des expliziten Verfahrens bei r > 1/2 und Vergleich der numerischen Diffusion.

Zum Modell

Die Wärmeleitungsgleichung u_t = α u_xx beschreibt den Temperaturausgleich längs eines Stabes. Auf der Strecke 0 ≤ x ≤ 1 sind die Enden fest: u = 0. Die zweite Ableitung ist durch die übliche Differenz auf dem gleichmäßigen Gitter ersetzt; der zentrale dimensionslose Parameter ist die Diffusionszahl r = αΔt/Δx². Explizites FTCS: u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i-1}^n − 2u_i^n + u_{i+1}^n); die von-Neumann-Analyse liefert die Stabilitätsgrenze r ≤ 1/2. Bei r > 1/2 wachsen hochfrequente wechselnde Anteile — die typische sägezahnartige Explosion. Das implizite Euler-Verfahren rückwärts löst (I − rL)u^{n+1} = u^n durch tridiagonale Elimination: für Diffusion ist es unbedingt stabil, großes r explodiert nicht, der Verlauf wird aber stärker verschmiert. Die obere Grafik zeigt das aktuelle Profil, der untere Streifen die jüngere Geschichte.

Für wen: Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen: finite Differenzen, Stabilität, explizite und implizite Schemata.

Wichtige Begriffe

wärmeleitungsgleichung
finite differenzen
ftcs
euler rückwärts
courant-bedingung
von-neumann-stabilität
tridiagonale elimination
numerische diffusion

So funktioniert es

Wärmeleitungsgleichung u_t = αu_xx auf einem eindimensionalen Stab mit u=0 an den Enden. Explizites FTCS verwendet r = αΔt/Δx² und ist nur bei r ≤ 1/2 stabil; bei größerem r explodiert schwaches Schachbrettrauschen. Implizites Euler rückwärts löst ein tridiagonales System und explodiert nicht, glättet aber stärker.

Wichtige Gleichungen

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Häufige Fragen

Warum explodiert das explizite Verfahren bei r > 1/2?: Fourier-Moden des Fehlers werden je Schritt mit G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2) multipliziert. Für hochfrequente Moden und r > 1/2 gilt |G| > 1, daher wachsen selbst Rundung oder schwaches Schachbrettrauschen, obwohl die echte Wärmeleitungsgleichung alles glätten müsste.
Wenn das implizite Verfahren für jedes r stabil ist, warum nicht riesige Schritte nehmen?: Stabilität ist nicht Genauigkeit. Großes r dämpft die Moden übermäßig und kann den Übergang verschmieren. Implizite Verfahren erlauben große stabile Schritte, aber Δt wählt man weiter nach der geforderten Genauigkeit und den charakteristischen Zeiten der Aufgabe.
Welche Randbedingungen werden verwendet?: An beiden Enden steht u = 0 (homogene Dirichlet-Bedingungen), wie bei einem Stab, dessen Enden in einem Wärmebad festgehalten sind. Die Formeln gelten nur für die inneren Gitterpunkte.

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