Lorenz-System mit den Parametern σ, ρ, β: seltsamer Attraktor als „Schmetterling“ in der Projektion (x, z). Integration nach Runge-Kutta, Empfindlichkeit gegen die Anfangswerte.
Zum Modell
Der Lorenz-Attraktor ist die Grenzmenge der Trajektorien des autonomen Systems dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz, das aus einem stark gekürzten Konvektionsmodell entstand. Bei den klassischen σ, ρ, β wickelt sich die Bahn auf einen seltsamen Attraktor mit zwei Flügeln: die Bewegung bleibt beschränkt, nahe Anfangswerte laufen aber exponentiell auseinander. Der Fluss ist dissipativ — das Volumen im Phasenraum schrumpft; das ist eine andere Klasse als hamiltonsches Chaos mit Volumenerhaltung. Auf dem Schirm steht die Projektion (x, z) der Spur nach Runge-Kutta. Stochastisches Rauschen fehlt; ein zu grober Schritt verzerrt den „Schmetterling“ als numerisches Artefakt. Die langfristige Vorhersage nach solchen Gleichungen begrenzt der Lyapunov-Exponent, nicht der Mangel an Daten.
Für wen: Nichtlineare Dynamik: seltsamer Attraktor, Chaos, dissipativer Fluss.
Wichtige Begriffe
lorenz-attraktor
lorenz-system
seltsamer attraktor
empfindlichkeit gegenüber anfangsbedingungen
dissipativer fluss
lyapunov-exponent
schmetterlingseffekt
nichtlineare dgl
So funktioniert es
Lorenz-System: dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz. Bei den klassischen Parametern wickeln sich die Trajektorien auf einen seltsamen Attraktor; nahe Starts laufen auseinander. Auf dem Schirm steht die Projektion (x, z) der Spur nach Runge-Kutta. Ein grober Schritt verzerrt die Flügel.
Häufige Fragen
Ist das ein Wettermodell?
Nur eine Karikatur der Konvektion: wirkliche Atmosphärenmodelle sind hochdimensional. Hierher ist die Idee der Empfindlichkeit gegen die Anfangswerte gewandert, nicht die konkreten Prognosegleichungen.
Warum laufen die Trajektorien nicht ins Unendliche?
Die nichtlinearen Glieder begrenzen das Wachstum, die Dissipation faltet das Volumen. Der Attraktor bleibt in einem kompakten Gebiet des Phasenraums.
Dasselbe Chaos wie in hamiltonschen Systemen?
Nein: dort bleibt das Volumen im Phasenraum erhalten. Bei Lorenz schrumpft das Volumen — das ist ein dissipativer seltsamer Attraktor, eine andere Klasse.
Reicht das explizite Euler-Verfahren?
Für lange Läufe in der Regel nicht. Man braucht Verfahren höherer Ordnung und Kontrolle der Schrittweite, sonst verzerren sich die Flügel des „Schmetterlings“ als numerisches Artefakt.