Warum läuft der Anteil sonniger Tage auf ein Plateau?

Er konvergiert gegen das stationäre π. Bei πP = π ändern sich die Zeitanteile in den Zuständen nicht mehr. Den Wert diktiert P: steigt die Wahrscheinlichkeit von Regen nach Sonne, sinkt der langfristige Sonnenanteil.

Hat das echte Wetter wirklich kein Gedächtnis?

Das ist eine Vereinfachung. Ein realer Tiefdruckkern hält oft mehrere Tage. Die Ein-Schritt-Kette ist eine erste Näherung und Vorstufe zu Ketten höherer Ordnung und verdeckten Markov-Modellen.

Was bedeuten die Pfeile im Zustandsdiagramm?

Kreise sind Zustände, Pfeile Übergänge, die Zahl am Pfeil die bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Summe der ausgehenden Pfeile eines Zustands ist 1; das sind die Zeilen der Matrix P.

Kann die Kette für immer in einem Zustand stecken bleiben?

Liegen alle Wahrscheinlichkeiten streng zwischen 0 und 1 — nein. Ist etwa P(Sonne → Regen) = 0, wird „Sonne“ absorbierend, und die Stationarität ändert sich.

Markov-Kette (Wetter)

Kette mit zwei Zuständen „Sonne / Regen“: Übergangsmatrix P, stationäre Verteilung π, empirischer Anteil und Theorie.

Zum Modell

Die Markov-Kette hat zwei Zustände — „Sonne“ und „Regen“. Das Wetter von morgen hängt nur vom heutigen ab: die Übergangsmatrix P gibt die Ein-Schritt-Wahrscheinlichkeiten, darunter P(Sonne → Regen). Die Summe der Austrittswahrscheinlichkeiten aus jedem Zustand ist 1. Eine lange Folge von Tagen liefert empirische Anteile; ist die Kette irreduzibel und aperiodisch, konvergieren die Anteile gegen die einzige stationäre Verteilung π mit πP = π. Für die 2×2-Kette gilt π_Sonne = (1 − P_rr) / (2 − P_ss − P_rr). Wenn Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten ändern, vergleichen Sie das theoretische π mit der gesammelten Häufigkeit sonniger Tage.

Für wen: Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse: Markov-Ketten, stationäre Verteilung.

Wichtige Begriffe

markov-kette
übergangsmatrix
stationäre verteilung
markov-eigenschaft
zustandsraum
empirische verteilung
ergodizität

So funktioniert es

Die Kette mit den Zuständen „Sonne“ und „Regen“ macht einen Schritt nach der Matrix P. Markov-Eigenschaft: der nächste Zustand hängt nur vom aktuellen ab. Das stationäre π erfüllt π = πP; auf dem Bildschirm vergleichen Sie das theoretische π mit dem Sonnenanteil über den Lauf.

Häufige Fragen

Warum läuft der Anteil sonniger Tage auf ein Plateau?: Er konvergiert gegen das stationäre π. Bei πP = π ändern sich die Zeitanteile in den Zuständen nicht mehr. Den Wert diktiert P: steigt die Wahrscheinlichkeit von Regen nach Sonne, sinkt der langfristige Sonnenanteil.
Hat das echte Wetter wirklich kein Gedächtnis?: Das ist eine Vereinfachung. Ein realer Tiefdruckkern hält oft mehrere Tage. Die Ein-Schritt-Kette ist eine erste Näherung und Vorstufe zu Ketten höherer Ordnung und verdeckten Markov-Modellen.
Was bedeuten die Pfeile im Zustandsdiagramm?: Kreise sind Zustände, Pfeile Übergänge, die Zahl am Pfeil die bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Summe der ausgehenden Pfeile eines Zustands ist 1; das sind die Zeilen der Matrix P.
Kann die Kette für immer in einem Zustand stecken bleiben?: Liegen alle Wahrscheinlichkeiten streng zwischen 0 und 1 — nein. Ist etwa P(Sonne → Regen) = 0, wird „Sonne“ absorbierend, und die Stationarität ändert sich.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Mathematische Visualisierung“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Mischung einer Markov-Kette

Simulation starten

Kette mit drei Zuständen: Übergangsmatrix, stationäre Verteilung, Abstand in Totalvariation, detailliertes Gleichgewicht und spektrale Lücke.

NeuSchule

Zufallsbewegung

Simulation starten

Schritte auf der Geraden oder in der Ebene: Bahn und laufendes Mittel ⟨r²⟩ als Vorstufe der Diffusion.

NeuHochschule / Forschung

Kalman-Filter: 2D-Verfolgung

Simulation starten

Vierdimensionaler Filter konstanter Geschwindigkeit: verrauschte Messungen (x,y), Beschleunigungsrauschen Q, Messvarianz R und mitlaufende Kovarianzellipse ≈2σ.

NeuSchule

2×2-Matrix und Eigenvektoren

Simulation starten

Lineare Abbildung der Ebene durch die Matrix M: das quadratische Gitter wird zum Parallelogrammgitter. Bei reellen λ stehen Pfeile längs der invarianten Richtungen.

NeuSchule

Sandhaufen nach Bak-Tang-Wiesenfeld

Simulation starten

Abelsches Modell: Körner hinzu, bei Höhe ≥ 4 Abrutschen auf die Nachbarn. Lawinen ohne Anpassung der Schwelle — selbstorganisierte Kritikalität.

NeuSchule

Hauptkomponentenanalyse (PCA) in 2D

Simulation starten

Wolke in der Ebene: 2×2-Kovarianz, Eigenvektoren PC1 und PC2 vom Mittelwert, Lote auf die PC1-Gerade und Streifen der Scores auf der ersten Komponente.

Markov-Kette (Wetter)

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Mischung einer Markov-Kette

Zufallsbewegung

Kalman-Filter: 2D-Verfolgung

2×2-Matrix und Eigenvektoren

Sandhaufen nach Bak-Tang-Wiesenfeld

Hauptkomponentenanalyse (PCA) in 2D

Markov-Kette (Wetter)

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen