Warum ergeben zwei Rechtecke ein Trapez oder ein Dreieck?

Der Wert bei jedem τ ist die Überlappungsfläche. Solange die Impulse aufeinanderfahren, wächst die Fläche linear, bei voller Überdeckung hält ein Plateau, danach fällt sie linear. Sind die Breiten gleich, schrumpft das Plateau auf einen Punkt und es bleibt ein Dreieck.

Was ist der Verschiebungsparameter τ?

Die relative Verzögerung. Im Integral ist g(τ − t) die gespiegelte und verschobene Kopie von g(t). Ändert man τ, schiebt man diese Kopie längs des feststehenden f(t); der Ausgang (f∗g)(τ) ist die Überlappungsfläche bei dieser Verzögerung.

Wozu braucht man das in der Signalverarbeitung?

Das Rechteck modelliert ein Mittelungsfenster endlicher Dauer. Die Faltung mit einem solchen Fenster glättet schnelle Schwankungen — das einfachste gleitende Integral. Von dort führt der Weg zu Filtern und zur Impulsantwort eines linearen Systems.

Worin unterscheidet sich die stetige Faltung von der diskreten?

Hier wird die Fläche auf der t-Achse integriert. In der digitalen Verarbeitung summiert man Produkte von Abtastwerten. Ideale Rechtecke ohne Rauschen sind eine Lehrvereinfachung; echte Signale sind selten so.

Faltung rechteckiger Impulse

Zwei Rechteckimpulse der Höhe 1: die Faltung (f∗g)(τ) ist die Überlappungsfläche bei der Verschiebung τ. Bei τ = 0 steht auf dem Schirm die Länge des Schnitts.

Zum Modell

Die Faltung rechteckiger Impulse beschreibt, wie eine Funktion über die andere gezogen wird: (f∗g)(τ) = ∫ f(t) g(τ − t) dt. Der Parameter τ ist die relative Verschiebung; g wird gespiegelt und gleitet längs der t-Achse, das Integral liefert die Überlappungsfläche. Für zwei Rechtecke der Höhe 1 ist das Integral die Länge des Schnitts. Die Faltung von Rechtecken der Breiten A und B ergibt ein Trapez (ein Dreieck, wenn A = B); die Breite des Trägers ist A + B. Das ist das Lehrbild der Glättung und linearer zeitinvarianter Systeme: ideale Impulse ohne Rauschen, stetige Zeit, scharfe Flanken. Dieselbe Operation addiert in der Wahrscheinlichkeit unabhängige Größen und liefert in der Physik die Antwort auf einen Eingang bei bekannter Impulsantwort.

Für wen: Signale und Systeme, lineare Systeme, Integraltransformationen.

Wichtige Begriffe

faltung
faltungsintegral
rechteckimpuls
verschiebungsparameter
überlappungsfläche
lineares zeitinvariantes system
trapezförmige antwort

So funktioniert es

Die Faltung (f∗g)(τ) = ∫ f(t) g(τ − t) dt misst die Überlappung, wenn man eine Funktion spiegelt und verschiebt. Für Rechtecke der Höhe 1 ist das Integral die Länge des Schnitts. Auf dem Schirm ist bei τ = 0 diese Länge grün gezeichnet; die Impulsbreiten und die Verschiebung von g stellt man mit den Schiebereglern ein.

Häufige Fragen

Warum ergeben zwei Rechtecke ein Trapez oder ein Dreieck?: Der Wert bei jedem τ ist die Überlappungsfläche. Solange die Impulse aufeinanderfahren, wächst die Fläche linear, bei voller Überdeckung hält ein Plateau, danach fällt sie linear. Sind die Breiten gleich, schrumpft das Plateau auf einen Punkt und es bleibt ein Dreieck.
Was ist der Verschiebungsparameter τ?: Die relative Verzögerung. Im Integral ist g(τ − t) die gespiegelte und verschobene Kopie von g(t). Ändert man τ, schiebt man diese Kopie längs des feststehenden f(t); der Ausgang (f∗g)(τ) ist die Überlappungsfläche bei dieser Verzögerung.
Wozu braucht man das in der Signalverarbeitung?: Das Rechteck modelliert ein Mittelungsfenster endlicher Dauer. Die Faltung mit einem solchen Fenster glättet schnelle Schwankungen — das einfachste gleitende Integral. Von dort führt der Weg zu Filtern und zur Impulsantwort eines linearen Systems.
Worin unterscheidet sich die stetige Faltung von der diskreten?: Hier wird die Fläche auf der t-Achse integriert. In der digitalen Verarbeitung summiert man Produkte von Abtastwerten. Ideale Rechtecke ohne Rauschen sind eine Lehrvereinfachung; echte Signale sind selten so.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Mathematische Visualisierung“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Spektrogramm und STFT

Simulation starten

Eine gefensterte DFT gleitet über das Signal: Chirps, zwei Töne, Impulse. Fensterlänge M, Schritt und Fenstertyp bestimmen den Zeit-Frequenz-Kompromiss.

NeuHochschule / Forschung

Teilchen im Strömungsfeld

Simulation starten

Synthetisches Feld v(x, y, t); Transport mit periodischen Rändern; optional ein Pfeilgitter.

NeuHochschule / Forschung

Newton-Raphson-Einzugsgebiete

Simulation starten

Karte der Einzugsgebiete des Newton-Raphson-Verfahrens für F(x, y) = 0: Abhängigkeit von der Anfangsnäherung, Iterationszahl, Anziehung der Wurzeln und Abbruch bei singulärer Jacobi-Matrix.

NeuHochschule / Forschung

Advektionsschemata: Upwind / LW / MacCormack

Simulation starten

Linearer Transport u_t + c u_x = 0 auf periodischem Gitter: Diffusion des Upwind-Verfahrens, Dispersionsschwingungen von Lax-Wendroff und MacCormack, exakte Verschiebung des Impulses, L2-Fehler und Courant-Zahl ν.

NeuHochschule / Forschung

Phasenportrait (2D-DGL)

Simulation starten

Richtungsfeld und Trajektorien per Klick: harmonisch, gedämpft, Sattel, Knoten, Strudel, Pendel (RK4).

NeuHochschule / Forschung

Gauß-Prozess: Regression

Simulation starten

Regression mit einem Gauß-Prozess zu RBF- und Matérn-Kernen: Korrelationslänge und Rauschen, Beobachtungen per Klick, a-posteriori-Mittelwert, Unsicherheitsband und Wahl des Punktes mit der größten Varianz.

Faltung rechteckiger Impulse

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Spektrogramm und STFT

Teilchen im Strömungsfeld

Newton-Raphson-Einzugsgebiete

Advektionsschemata: Upwind / LW / MacCormack

Phasenportrait (2D-DGL)

Gauß-Prozess: Regression

Faltung rechteckiger Impulse

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen