Warum bleibt am Sprung des Rechtecks ein „Horn“, egal wie viele Harmonische man addiert?

Das ist das Gibbs-Phänomen. An der Unstetigkeit oszilliert die Partialsumme: die Amplitude der Überschwingung geht nicht gegen null, nur ihre Breite wird schmaler. Im Mittel konvergiert die Reihe; im Sprungpunkt selbst liefert sie das Mittel der links- und rechtsseitigen Grenzwerte.

Warum braucht das Dreieck weniger Glieder als das Rechteck?

Das Dreieck ist stetig, die Koeffizienten fallen wie 1/k²; das Rechteck hat Sprünge, die Koeffizienten wie 1/k. Je glatter die Funktion, desto schneller konvergiert die Fourier-Reihe.

Worin unterscheidet sich die Fourier-Reihe vom FFT-Spektrum?

Die Reihe zerlegt eine periodische Funktion in eine unendliche Summe von Harmonischen. Die FFT ist die diskrete Transformation eines endlichen Fensters von Abtastwerten. Hier wird das Signal aus Harmonischen aufgebaut; das FFT-Spektrum zerlegt einen schon gegebenen Puffer.

Fourier-Reihen

Eine periodische Funktion wird in eine Summe von Harmonischen zerlegt — Sinus und Kosinus ganzzahliger Vielfacher der Grundfrequenz. Ändern Sie die Gliederzahl und vergleichen Sie die Partialsumme mit Rechteck, Sägezahn oder Dreieck.

Zum Modell

Die Fourier-Reihe stellt eine periodische Funktion als Summe von Harmonischen dar: Sinus und Kosinus mit Vielfachen der Grundfrequenz. Die Partialsumme konvergiert gegen die gewählte Form: für das Rechteck ungerade Sinus mit Amplituden 4/(π(2k−1)), für den Sägezahn Glieder sin(nt)/n, für das Dreieck ungerade Sinus mit 1/k². In der Nähe eines Sprungs (Rechteck, Sägezahn) bleibt das Gibbs-Phänomen: die lokale Überschwingung verschwindet mit wachsendem n nicht, sie wird nur schmaler. Das glatte Dreieck konvergiert schneller. Auf dem Bildschirm ist die gestrichelte Kurve der ideale Grenzwert, die durchgezogene die Partialsumme; die Phase lässt sich in der Zeit verschieben. Das Modell ist ideal: eine endliche trigonometrische Reihe ohne Rauschen und ohne spektrale Leckage.

Für wen: Analysis und Signaltheorie: Fourier-Reihen, Harmonische, Konvergenz der Partialsummen.

Wichtige Begriffe

fourier-reihe
harmonische
partialsumme
rechteckschwingung
gibbs-phänomen
periodische funktion

So funktioniert es

Ein periodisches Ziel (Rechteck, Sägezahn, Dreieck) wird durch eine endliche Fourier-Summe angenähert. Rechteck: ungerade Sinus (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1); Sägezahn: (2/π) Σ (−1)^{n+1} sin(nt)/n; Dreieck: ungerade Sinus mit 1/k². Mehr Glieder verbessern die Näherung; an Sprüngen bleibt das Gibbs-Phänomen. Gestrichelt das Ideal, durchgezogen die Partialsumme; die Animation verschiebt die Phase.

Wichtige Gleichungen

Rechteck: (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1)

Häufige Fragen

Warum bleibt am Sprung des Rechtecks ein „Horn“, egal wie viele Harmonische man addiert?: Das ist das Gibbs-Phänomen. An der Unstetigkeit oszilliert die Partialsumme: die Amplitude der Überschwingung geht nicht gegen null, nur ihre Breite wird schmaler. Im Mittel konvergiert die Reihe; im Sprungpunkt selbst liefert sie das Mittel der links- und rechtsseitigen Grenzwerte.
Warum braucht das Dreieck weniger Glieder als das Rechteck?: Das Dreieck ist stetig, die Koeffizienten fallen wie 1/k²; das Rechteck hat Sprünge, die Koeffizienten wie 1/k. Je glatter die Funktion, desto schneller konvergiert die Fourier-Reihe.
Worin unterscheidet sich die Fourier-Reihe vom FFT-Spektrum?: Die Reihe zerlegt eine periodische Funktion in eine unendliche Summe von Harmonischen. Die FFT ist die diskrete Transformation eines endlichen Fensters von Abtastwerten. Hier wird das Signal aus Harmonischen aufgebaut; das FFT-Spektrum zerlegt einen schon gegebenen Puffer.

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