Wann ist die Julia-Menge zusammenhängend?

Für z² + c ist die ausgefüllte Julia-Menge genau dann zusammenhängend, wenn c in der Mandelbrot-Menge liegt (die kritische Bahn der Null bleibt beschränkt). Außerhalb zerfällt die Julia-Menge in einen cantorschen Staub von Punkten.

Worin unterscheidet sie sich von der Mandelbrot-Menge?

Die Mandelbrot-Menge variiert c und startet stets bei z₀ = 0. Das Bild der Julia-Menge hält ein c fest und färbt viele Anfangswerte z. Die Mandelbrot-Menge ist die Parameterkarte jener c, für die die Julia-Mengen zusammenhängend sind.

Wozu führt man c auf einem Kreis?

Ein Kreisweg in der c-Ebene kreuzt periodisch den Rand der Mandelbrot-Menge, daher wechselt die Julia-Menge vor den Augen von zusammenhängenden „Zwiebeln“ zu staubartig unzusammenhängenden Formen, ohne dass man Parameter suchen muss.

Julia-Menge

Parameter c über die Miniatur-Mandelbrot-Menge oder Animation auf einem Kreis; Fatou-Staub gegen zusammenhängende Mengen.

Zum Modell

Die Julia-Menge der Abbildung z ↦ z² + c bei festem komplexem Parameter c ist die Grenze zwischen Bahnen, die nach Unendlich entweichen, und beschränkten Bahnen (ausgefüllte Julia-Menge und Fatou-Komponenten). Den Parameter c wählt man per Klick auf die eingebettete Miniatur-Mandelbrot-Menge oder führt ihn auf einem Kreis: innerhalb der Mandelbrot-Menge sind die Julia-Mengen zusammenhängend, außerhalb zerfallen sie in cantorschen Fatou-Staub. Die Einfärbung folgt der Fluchtzeit der Iteration z_{n+1} = z_n² + c von jedem Pixel als Anfangs-z. Die Familie ist quadratisch, ohne Abbildungen höherer Potenzen und ohne Newton-Einzugsgebiete; die Iterationszahl ist endlich.

Für wen: Komplexe Dynamik: Zusammenhang von Mandelbrot- und Julia-Menge, Zusammenhangseigenschaft.

Wichtige Begriffe

julia-menge
ausgefüllte julia-menge
fatou-staub
mandelbrot-menge
quadratische abbildung
fluchtzeit

So funktioniert es

Die Julia-Menge der Abbildung z ↦ z²+c bei festem c ist die Grenze zwischen entweichenden und beschränkten Bahnen. Ein Pixel ist das Anfangs-z; die Farbe ist die Fluchtzeit. Liegt c in der Mandelbrot-Menge, ist die ausgefüllte Julia-Menge zusammenhängend; sonst zerfällt sie in cantorschen Fatou-Staub. Den Parameter c wählt man an der Miniatur-Mandelbrot-Menge oder führt ihn auf einem Kreis.

Wichtige Gleichungen

J(c) = ∂{ z₀ ∈ ℂ : supₙ|zₙ| < ∞ }, zₙ₊₁ = zₙ² + c

connected ⇔ c ∈ M (Fatou–Julia)

Häufige Fragen

Wann ist die Julia-Menge zusammenhängend?: Für z² + c ist die ausgefüllte Julia-Menge genau dann zusammenhängend, wenn c in der Mandelbrot-Menge liegt (die kritische Bahn der Null bleibt beschränkt). Außerhalb zerfällt die Julia-Menge in einen cantorschen Staub von Punkten.
Worin unterscheidet sie sich von der Mandelbrot-Menge?: Die Mandelbrot-Menge variiert c und startet stets bei z₀ = 0. Das Bild der Julia-Menge hält ein c fest und färbt viele Anfangswerte z. Die Mandelbrot-Menge ist die Parameterkarte jener c, für die die Julia-Mengen zusammenhängend sind.
Wozu führt man c auf einem Kreis?: Ein Kreisweg in der c-Ebene kreuzt periodisch den Rand der Mandelbrot-Menge, daher wechselt die Julia-Menge vor den Augen von zusammenhängenden „Zwiebeln“ zu staubartig unzusammenhängenden Formen, ohne dass man Parameter suchen muss.

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