Warum schwingt das Lagrange-Polynom bei vielen äquidistanten Knoten so stark?

Das ist das Runge-Phänomen: für manche glatte Funktionen zwingt ein gleichmäßiges Gitter das eindeutige Interpolationspolynom hohen Grades zu großen Überschwingern an den Intervallenden. Der Fehler kann mit dem Grad wachsen, obwohl das Polynom weiterhin durch jeden Knoten geht.

Was heißt „natürlich“ beim kubischen Spline?

An den Randknoten wird die zweite Ableitung null gesetzt. Das legt die Freiheitsgrade fest und entspricht der kleinsten „Krümmung“ (Minimum des Integrals über das Quadrat der zweiten Ableitung) unter den Interpolanten durch alle Knoten.

Liegt der Spline der erwarteten Form immer näher als das Polynom?

Visuell oft ja: jedes Stück ist nur kubisch, und es fehlt das explosive Randverhalten hoher Grade. Der Spline interpoliert aber weiterhin exakt — gegen Rauschen geht man gewöhnlich zur Methode der kleinsten Quadrate oder zu penalisierten Splines über.

Warum müssen die Abszissen der Knoten verschieden sein?

Ein Funktionsgraph kann nicht durch zwei verschiedene Ordinaten bei derselben Abszisse gehen. In der Lagrange-Formel würden die Nenner (xⱼ − xᵢ) null, und das System für ein Polynom wäre entartet. Beim Setzen der Knoten braucht es einen Mindestabstand in der Horizontalen; Zusammenfälle nach dem Ziehen werden leicht auseinandergeschoben.

Lagrange-Interpolation und kubischer Spline

Knoten per Klick: Lagrange-Polynom gegen natürlichen kubischen Spline. Die Runge-Vorlage zeigt Randoszillationen hoher Ordnung.

Zum Modell

Die Lagrange-Interpolation und der kubische Spline konstruieren eine Kurve, die genau durch vorgegebene Knoten geht. Die Lagrange-Interpolation definiert das eindeutige globale Polynom vom Grad höchstens n−1 durch n verschiedene Abszissen in der Produktform der Basispolynome. Bei hohem Grad und gleichmäßigem Gitter kann das Polynom zwischen den Knoten stark oszillieren — das Runge-Phänomen. Kubische Splines gehen anders vor: auf jedem Intervall zwischen benachbarten Knoten ein eigenes Kubikpolynom; an den inneren Knoten sind Werte, erste und zweite Ableitung stetig. Der natürliche kubische Spline setzt die zweite Ableitung an den Enden auf null und liefert unter den zweimal differenzierbaren Interpolanten die am wenigsten gekrümmte Kurve (Minimum des Integrals über das Quadrat der zweiten Ableitung). Knoten lassen sich setzen und ziehen; verglichen werden Lagrange-Interpolant und natürlicher Spline. Die Vorlage mit gleichmäßigem Gitter im Sinne von Runge zeigt Randoszillationen des Polynoms bei ruhigem Spline.

Für wen: Numerische Verfahren und angewandte Mathematik: Interpolation, Runge-Phänomen, Splines.

Wichtige Begriffe

lagrange-interpolation
runge-phänomen
natürlicher kubischer spline
stückweise polynomiale funktion
tridiagonalsystem
spline-stetigkeit
interpolation und approximation

So funktioniert es

Die Lagrange-Interpolation baut ein Polynom vom Grad n−1 durch n Knoten. Der natürliche kubische Spline ist eine stückweise kubische Kurve: auf jedem Intervall zwischen Nachbarknoten ein Kubikpolynom, Werte und die ersten beiden Ableitungen stoßen stetig an, an den Enden gilt S″ = 0. Auf gleichmäßigem Gitter und bei „spitzer“ Funktion (Runge-Vorlage) erzeugt hoher Lagrange-Grad große Oszillationen am Rand; der Spline bleibt glatt.

Wichtige Gleichungen

Lagrange: P(x) = Σⱼ yⱼ · Πᵢ≠ⱼ (x−xᵢ)/(xⱼ−xᵢ)

Spline: Kubikpolynom auf [xᵢ,xᵢ₊₁]; stetig S, S′, S″; S″(x₀)=S″(xₙ₋₁)=0

Häufige Fragen

Warum schwingt das Lagrange-Polynom bei vielen äquidistanten Knoten so stark?: Das ist das Runge-Phänomen: für manche glatte Funktionen zwingt ein gleichmäßiges Gitter das eindeutige Interpolationspolynom hohen Grades zu großen Überschwingern an den Intervallenden. Der Fehler kann mit dem Grad wachsen, obwohl das Polynom weiterhin durch jeden Knoten geht.
Was heißt „natürlich“ beim kubischen Spline?: An den Randknoten wird die zweite Ableitung null gesetzt. Das legt die Freiheitsgrade fest und entspricht der kleinsten „Krümmung“ (Minimum des Integrals über das Quadrat der zweiten Ableitung) unter den Interpolanten durch alle Knoten.
Liegt der Spline der erwarteten Form immer näher als das Polynom?: Visuell oft ja: jedes Stück ist nur kubisch, und es fehlt das explosive Randverhalten hoher Grade. Der Spline interpoliert aber weiterhin exakt — gegen Rauschen geht man gewöhnlich zur Methode der kleinsten Quadrate oder zu penalisierten Splines über.
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