Warum wirkt der Graph von tan x bei π/2 „zerrissen“?

Zwischen benachbarten Stützstellen springt y von großen positiven auf große negative Werte, und die Verbindungsstrecke zeichnet einen falschen senkrechten Strich. Das gehört nicht zum Graphen: dort steht eine senkrechte Asymptote. Größerer Maßstab macht den Sprung deutlicher.

Wozu den Graphen zeichnen, wenn die Formel da ist?

Am Graphen sieht man sofort Maxima, Periodizität und Wachstumsgeschwindigkeit. Die Quadratische beschreibt den schiefen Wurf, die Exponentialfunktion Wachstum und Zerfall, der Sinus Schwingungen.

Kann man den Kreis x² + y² = 1 zeichnen?

Nein: zu einem x gehören zwei y, das Kriterium der senkrechten Geraden ist verletzt. Die Halbkreise gibt man getrennt an: y = √(1 − x²) und y = −√(1 − x²).

Was bringen Maßstab und Verschiebung?

Großer Maßstab zeigt das lokale Verhalten (fast eine Gerade — Idee der Tangente). Kleiner Maßstab die Gesamtform und die Enden. Die Verschiebung betrachtet einen anderen Abschnitt der x-Achse.

Funktionsgraph

Graph von y = f(x): Ausdruck eingeben, horizontalen Maßstab und Verschiebung des Fensters wählen.

Zum Modell

Der Funktionsgraph von y = f(x) im kartesischen Koordinatensystem ist die Menge der Punkte (x, f(x)). Der Ausdruck wird auf einem Gitter in x ausgewertet und polygonal verbunden; bei genug Stützstellen wirkt die Linie wie eine glatte Kurve. Man sieht Nullstellen, Vorzeichenbereiche, Steigen und Fallen, Asymptoten. Der Maßstab verengt oder weitet das Fenster in x um die Mitte; Ziehen verschiebt das Fenster horizontal, die y-Achse passt sich selbst an. Unstetigkeiten und Pole (wie bei tan x) werden in getrennten Stücken gezeichnet: sonst verbände der Algorithmus „plus unendlich“ mit „minus unendlich“ durch eine senkrechte Strecke. Es entsteht ein Graph y von x: der Kreis x² + y² = 1 ist kein Funktionsgraph.

Für wen: Gymnasium, Klasse 8–11, Analysis: Graph von y = f(x), Definitionsbereich, Asymptoten.

Wichtige Begriffe

funktion
funktionsgraph
kartesisches koordinatensystem
definitionsbereich
asymptote
nullstellen

So funktioniert es

Der Ausdruck y = f(x) wird an Stützstellen auf der x-Achse ausgewertet und polygonal verbunden. Das Fenster in x ändert sich durch Maßstab und Ziehen; die y-Achse passt sich an. Unstetigkeiten und Pole werden in getrennten Segmenten gezeichnet, damit keine falsche Senkrechte durch die Asymptote entsteht.

Wichtige Gleichungen

Beispiele: sin(x), x^2 + 2*x, exp(-x^2)

Häufige Fragen

Warum wirkt der Graph von tan x bei π/2 „zerrissen“?: Zwischen benachbarten Stützstellen springt y von großen positiven auf große negative Werte, und die Verbindungsstrecke zeichnet einen falschen senkrechten Strich. Das gehört nicht zum Graphen: dort steht eine senkrechte Asymptote. Größerer Maßstab macht den Sprung deutlicher.
Wozu den Graphen zeichnen, wenn die Formel da ist?: Am Graphen sieht man sofort Maxima, Periodizität und Wachstumsgeschwindigkeit. Die Quadratische beschreibt den schiefen Wurf, die Exponentialfunktion Wachstum und Zerfall, der Sinus Schwingungen.
Kann man den Kreis x² + y² = 1 zeichnen?: Nein: zu einem x gehören zwei y, das Kriterium der senkrechten Geraden ist verletzt. Die Halbkreise gibt man getrennt an: y = √(1 − x²) und y = −√(1 − x²).
Was bringen Maßstab und Verschiebung?: Großer Maßstab zeigt das lokale Verhalten (fast eine Gerade — Idee der Tangente). Kleiner Maßstab die Gesamtform und die Enden. Die Verschiebung betrachtet einen anderen Abschnitt der x-Achse.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Mathematische Visualisierung“.

Ganze Kategorie →

NeuSchule

Taylor-Reihe

Simulation starten

Vergleichen Sie sin, cos oder exp mit dem Taylor-Polynom der Ordnung n in der Umgebung der Stelle a.

NeuHochschule / Forschung

Spektrogramm und STFT

Simulation starten

Eine gefensterte DFT gleitet über das Signal: Chirps, zwei Töne, Impulse. Fensterlänge M, Schritt und Fenstertyp bestimmen den Zeit-Frequenz-Kompromiss.

NeuHochschule / Forschung

Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta

Simulation starten

Absolute Stabilität in der Ebene z = hλ für explizites Euler-Verfahren, RK2 und RK4: λ und h, Vergleich von |R(z)| und die Beschränkung des expliziten Schritts bei steifen Moden.

BeliebtSchule

Vektoraddition

Simulation starten

Zwei Vektoren in der Ebene: Dreiecksregel und Komponentenaddition, Betrag und Richtung der Resultierenden.

NeuSchule

Newton-Verfahren (1D)

Simulation starten

Graph von f(x), Klick setzt x₀, Iterationen x − f/f′ (Ableitung numerisch); Verschieben und Vorlagen. Einzugsgebiete auf ℂ — gesonderte Darstellung „Newton-Fraktal“.

NeuKinder

Harmonograph

Simulation starten

Auf den Achsen x und y stehen Summen zweier gedämpfter Harmonischer. Bei kleiner Dämpfung Lissajous-Figuren; bei merklicher Dämpfung eine verklingende Rosette.

Funktionsgraph

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Taylor-Reihe

Spektrogramm und STFT

Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta

Vektoraddition

Newton-Verfahren (1D)

Harmonograph

Funktionsgraph

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen