Warum sind cos θ und sin θ die Koordinaten des Punktes?

Der Radius ist 1. Die horizontale Projektion des Ortsvektors ist cos θ, die vertikale sin θ, daher hat der Punkt die Koordinaten (cos θ, sin θ).

Warum läuft tan θ manchmal ins Unendliche?

tan θ = sin θ / cos θ. Bei cos θ = 0 darf man nicht dividieren: senkrechte Asymptoten bei π/2, 3π/2 und weiter periodisch.

Wozu der Kreis, wenn es das rechtwinklige Dreieck gibt?

Das Dreieck gilt für spitze Winkel. Der Kreis überträgt dieselben Verhältnisse auf jeden Winkel, liefert die Vorzeichen nach Quadranten und zeigt die Periodizität.

Einheitskreis

Einheitskreis: sin θ, cos θ und tan θ als Koordinaten und Verhältnis, während der Punkt wandert.

Zum Modell

Der Einheitskreis: ein Punkt auf dem Kreis vom Radius 1 wird durch den Winkel θ zur positiven x-Achse festgelegt. Dann ist cos θ die Abszisse, sin θ die Ordinate, tan θ = sin θ / cos θ. Im Bild hat der Kreis den Pixelradius R; die Verhältnisse sind dieselben wie beim Einheitskreis. Bei θ = π/2 und 3π/2 wird der Kosinus null, der Tangens geht gegen unendlich. So führt man Sinus und Kosinus für beliebige Winkel ein, die Vorzeichen nach Quadranten und den Zusammenhang mit der harmonischen Schwingung.

Für wen: Gymnasium, Klasse 8–10: Trigonometrie — Einheitskreis, Sinus, Kosinus, Tangens.

Wichtige Begriffe

einheitskreis
sinus
kosinus
tangens
bogenmaß
quadrant

So funktioniert es

Auf dem Einheitskreis ist cos θ die x-Koordinate, sin θ die y-Koordinate des Punktes unter dem Winkel θ zur positiven x-Achse. Der Tangens ist das Verhältnis sin θ / cos θ. Im Bild hat der Kreis den Pixelradius R; die Verhältnisse sind dieselben.

Wichtige Gleichungen

cos θ = x, sin θ = y, tan θ = sin θ / cos θ

Häufige Fragen

Warum sind cos θ und sin θ die Koordinaten des Punktes?: Der Radius ist 1. Die horizontale Projektion des Ortsvektors ist cos θ, die vertikale sin θ, daher hat der Punkt die Koordinaten (cos θ, sin θ).
Warum läuft tan θ manchmal ins Unendliche?: tan θ = sin θ / cos θ. Bei cos θ = 0 darf man nicht dividieren: senkrechte Asymptoten bei π/2, 3π/2 und weiter periodisch.
Wozu der Kreis, wenn es das rechtwinklige Dreieck gibt?: Das Dreieck gilt für spitze Winkel. Der Kreis überträgt dieselben Verhältnisse auf jeden Winkel, liefert die Vorzeichen nach Quadranten und zeigt die Periodizität.

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