Warum sind die Grenzen der Newton-Einzugsgebiete so verwickelt?

Der Newton-Schritt ist eine lokale lineare Lösung, aber fern der Wurzel können nahe Starts zu verschiedenen Wurzeln laufen. Die Wiederholung der nichtlinearen Abbildung erzeugt empfindliche, oft fraktalartige Grenzen.

Was ist ein Abbruch an der Jacobi-Matrix?

Der Schritt verlangt, J δ = F zu lösen. Ist die Jacobi-Matrix singulär oder fast singulär, ist der Schritt undefiniert oder riesig: die Iteration stoppt, fliegt davon oder erfüllt das Konvergenzkriterium nicht.

Wovon hängt die Iterationszahl ab?

Nahe einer Wurzel mit nichtsingulärer Jacobi-Matrix ist die Konvergenz quadratisch, das Pixel hell (wenige Schritte). An der Grenze des Einzugsgebiets oder bei fast verschwindender Determinante von J braucht man mehr Schritte, oder die Iteration bricht ab.

Newton-Raphson-Einzugsgebiete

Karte der Einzugsgebiete des Newton-Raphson-Verfahrens für F(x, y) = 0: Abhängigkeit von der Anfangsnäherung, Iterationszahl, Anziehung der Wurzeln und Abbruch bei singulärer Jacobi-Matrix.

Jedes Pixel ist eine eigene Anfangsnäherung. Das Newton-Verfahren kann nahe einer einfachen Wurzel quadratisch konvergieren; fern davon springt dieselbe Formel über die Einzugsgebiete, trifft eine fast singuläre Jacobi-Matrix oder konvergiert nicht innerhalb der Iterationsgrenze.

Diagramme

Zum Modell

Das Newton-Raphson-Verfahren für das System F(x, y) = 0 aktualisiert die Näherung u = (x, y) nach u_{k+1} = u_k − J(u_k)⁻¹ F(u_k). Die Gleichung zⁿ − 1 = 0 ist als zwei reelle Funktionen Re(zⁿ − 1) = 0 und Im(zⁿ − 1) = 0 geschrieben; jedes Pixel ist eine Anfangsnäherung, die Farbe die Wurzel, gegen die die Iteration konvergierte. Die Helligkeit kodiert die Schrittzahl, dunkle Zellen sind Abbrüche: singuläre oder fast singuläre Jacobi-Matrix, Entweichen der Bahn, fehlende Konvergenz. Eine Testbahn zeigt, wie ein Startpunkt zwischen den Einzugsgebieten springt. In der Nähe einer einfachen Wurzel ist die Konvergenz quadratisch; fern der Wurzel sind die Grenzen oft fraktalartig.

Für wen: Numerische Verfahren und komplexe Dynamik: nichtlineare Systeme, Abhängigkeit von der Anfangsnäherung.

Wichtige Begriffe

newton-raphson-verfahren
einzugsgebiet
jacobi-matrix
anfangsnäherung
quadratische konvergenz
system f(x, y) = 0

So funktioniert es

Das Newton-Verfahren für das System F(x,y)=0 nutzt die lokale Linearisierung: u_{k+1}=u_k−J(u_k)^{-1}F(u_k). In der Demonstration ist die komplexe Gleichung z^n−1=0 als zwei reelle Funktionen Re(z^n−1)=0 und Im(z^n−1)=0 geschrieben. Jedes Pixel ist eine Anfangsnäherung; die Farbe zeigt, zu welcher Wurzel die Iteration gelangt ist, die Helligkeit, wie viele Schritte nötig waren. Dunkle Bereiche entstehen bei singulärer oder fast singulärer Jacobi-Matrix, beim Entweichen der Bahn oder wenn innerhalb der vorgegebenen Schrittgrenze keine Konvergenz eintritt.

Wichtige Gleichungen

Newton-Schritt: u_{k+1}=u_k − J(u_k)^{-1}F(u_k), u=(x,y)

Demonstrationssystem: z^n−1=0, also Re(z^n−1)=0 und Im(z^n−1)=0

Häufige Fragen

Warum sind die Grenzen der Newton-Einzugsgebiete so verwickelt?: Der Newton-Schritt ist eine lokale lineare Lösung, aber fern der Wurzel können nahe Starts zu verschiedenen Wurzeln laufen. Die Wiederholung der nichtlinearen Abbildung erzeugt empfindliche, oft fraktalartige Grenzen.
Was ist ein Abbruch an der Jacobi-Matrix?: Der Schritt verlangt, J δ = F zu lösen. Ist die Jacobi-Matrix singulär oder fast singulär, ist der Schritt undefiniert oder riesig: die Iteration stoppt, fliegt davon oder erfüllt das Konvergenzkriterium nicht.
Wovon hängt die Iterationszahl ab?: Nahe einer Wurzel mit nichtsingulärer Jacobi-Matrix ist die Konvergenz quadratisch, das Pixel hell (wenige Schritte). An der Grenze des Einzugsgebiets oder bei fast verschwindender Determinante von J braucht man mehr Schritte, oder die Iteration bricht ab.

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