Warum schwingt das Euler-Pendel höher und gewinnt Energie?

Das ist ein numerisches Artefakt. Explizites Euler-Verfahren ist für dieses System auf Dauer instabil: die lineare Extrapolation überschätzt den Zuwachs von ω und legt auf jedem Schritt Energie nach. Im konservativen Modell ist die gesamte mechanische Energie konstant.

Wozu überhaupt das Euler-Verfahren, wenn RK4 genauer ist?

Euler braucht einen Aufruf der rechten Seite pro Schritt, RK4 vier. Man behält es, wo Einfachheit und kleiner Schritt zählen, und als erste Formel, an der man die Ordnung versteht. Damit Euler RK4 in der Genauigkeit einholt, muss h meist unbrauchbar klein werden.

Was geschieht, wenn man die Schrittweite h stark verkleinert?

Beide Lösungen laufen auf die wahre zu, der Energiedrift von Euler auf festem Intervall wird schwächer. Der Fehler von Euler skaliert wie h, der von RK4 wie h⁴: das ist die Ordnung des Verfahrens.

Sind Reibung und Stabmasse berücksichtigt?

Nein: der Faden ist masselos und undehnbar, die Masse punktförmig, Luftwiderstand fehlt. So isoliert man den Verfahrensfehler. Beim wirklichen Pendel sänke die Energie durch Dämpfung, sie wüchse nicht wie bei Euler.

Euler und RK4 (mathematisches Pendel)

Eine nichtlineare Gleichung des mathematischen Pendels und eine Schrittweite h: explizites Euler-Verfahren neben dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung.

Zum Modell

Euler und RK4 am mathematischen Pendel ohne Kleinwinkelnäherung: θ″ = −(g/L) sin θ. Eine elementare geschlossene Lösung gibt es nicht, daher vergleicht man zwei numerische Verfahren an demselben Anfangswertproblem. Die Gleichung zweiter Ordnung wird zum System θ′ = ω, ω′ = −(g/L) sin θ. Das explizite Euler-Verfahren macht einen linearen Schritt: θ ← θ + hω, ω ← ω + h a(θ). Das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung (RK4) nimmt vier Zwischensteigungen und hat den lokalen Fehler der Ordnung h⁵. Reibung und Stabmasse fehlen: das System ist konservativ, die Gesamtenergie muss erhalten bleiben. Euler pumpt bei großem h Energie hinein und verschiebt die Phase; RK4 bleibt bei demselben h viel länger nahe am Referenzverlauf. Verändert werden g/L, die Schrittweite h und der Anfangswinkel.

Für wen: Numerische Verfahren und computergestützte Physik: DGL, Ordnung des Verfahrens, Energiedrift.

Wichtige Begriffe

numerische integration
runge-kutta-verfahren
euler-verfahren
gewöhnliche differentialgleichung
mathematisches pendel
abschneidefehler
energieerhaltung
phasenraum

So funktioniert es

Eine Gleichung θ″ = −(g/L) sin θ, ein Anfangswinkel, eine Schrittweite h. Explizites Euler-Verfahren aktualisiert θ und ω linear und pumpt bei großem h Energie hinein, die Phase läuft weg. RK4 mittelt vier Steigungen und bleibt dem konservativen Referenzverlauf viel näher. Wird h verkleinert, divergiert Euler später, aber die Zahl der Schritte wächst.

Wichtige Gleichungen

Euler: θ += ωh, ω += a(θ)h · RK4: vierstufige Mittelung über (θ, ω)

Häufige Fragen

Warum schwingt das Euler-Pendel höher und gewinnt Energie?: Das ist ein numerisches Artefakt. Explizites Euler-Verfahren ist für dieses System auf Dauer instabil: die lineare Extrapolation überschätzt den Zuwachs von ω und legt auf jedem Schritt Energie nach. Im konservativen Modell ist die gesamte mechanische Energie konstant.
Wozu überhaupt das Euler-Verfahren, wenn RK4 genauer ist?: Euler braucht einen Aufruf der rechten Seite pro Schritt, RK4 vier. Man behält es, wo Einfachheit und kleiner Schritt zählen, und als erste Formel, an der man die Ordnung versteht. Damit Euler RK4 in der Genauigkeit einholt, muss h meist unbrauchbar klein werden.
Was geschieht, wenn man die Schrittweite h stark verkleinert?: Beide Lösungen laufen auf die wahre zu, der Energiedrift von Euler auf festem Intervall wird schwächer. Der Fehler von Euler skaliert wie h, der von RK4 wie h⁴: das ist die Ordnung des Verfahrens.
Sind Reibung und Stabmasse berücksichtigt?: Nein: der Faden ist masselos und undehnbar, die Masse punktförmig, Luftwiderstand fehlt. So isoliert man den Verfahrensfehler. Beim wirklichen Pendel sänke die Energie durch Dämpfung, sie wüchse nicht wie bei Euler.

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