Warum werden Residuen quadriert und nicht als Beträge genommen?

Das Quadrat bestraft große Abweichungen stärker, und die Funktion S(a, b) ist überall differenzierbar, daher liefern die Normalgleichungen eine explizite Lösung. Die Summe der Beträge (kleinste absolute Abweichungen) ist ebenfalls zulässig, verlangt aber gewöhnlich Iterationen und hat keine ebenso einfache Formel.

Warum geht die Gerade stets durch (x̄, ȳ)?

So sind die Normalgleichungen des einfachen linearen Modells gebaut: der Achsenabschnitt wird so gewählt, dass die mittlere Vorhersage mit dem Mittelwert der y-Werte übereinstimmt. Der Schwerpunkt der Stichprobe liegt auf der KQ-Geraden.

Wo braucht man das im Physikpraktikum?

Bei der Bestimmung von g aus verrauschten s(t), bei der Kalibrierung eines Sensors, bei der Prüfung eines linearen Gesetzes. Immer wenn man durch eine Punktewolke die Gerade „bester Annäherung“ legt, ist es meist die Methode der kleinsten Quadrate.

Wann lügt das lineare Modell?

Wenn der wahre Trend gekrümmt ist (Quadrat, Exponentialfunktion), liefert die Gerade einen systematischen Fehler. Das Modell setzt außerdem gleichbleibende Streuung in y und unabhängige Punkte voraus; bei Heteroskedastizität oder Ausreißern verschieben sich die Schätzungen.

Methode der kleinsten Quadrate

Verrauschte Punkte und die Gerade y = ax + b, die die Summe der quadrierten vertikalen Residuen minimiert. Ändern Sie Steigung, Achsenabschnitt und Rauschen — Residuen und Summe der Fehlerquadrate werden sichtbar.

Zum Modell

Die Methode der kleinsten Quadrate sucht die Gerade, die eine Punktewolke im Sinne der Summe der quadrierten vertikalen Abweichungen am besten annähert. Für das Modell y = ax + b wird S(a, b) = Σ(y_i − ax_i − b)² minimiert. Die partiellen Ableitungen nach a und b, gleich null gesetzt, liefern die Normalgleichungen; daraus folgen die eindeutigen Schätzungen von Steigung und Achsenabschnitt. Die Gerade geht stets durch den Schwerpunkt der Stichprobe (x̄, ȳ). Vorausgesetzt wird ein linearer Trend, die gesamte Unsicherheit liegt in y-Richtung. Auf dem Bildschirm stehen die Gerade, um die die Punkte gestreut sind, die angepasste Gerade und die vertikalen Residuen. Punktzahl, Rauschamplitude und Erzeugungsparameter lassen sich ändern.

Für wen: Oberstufe und Studienbeginn: Statistik, Auswertung von Messdaten, Anpassung einer Geraden.

Wichtige Begriffe

methode der kleinsten quadrate
lineare regression
residuum
steigung
achsenabschnitt
summe der fehlerquadrate
normalgleichungen

So funktioniert es

Die Methode der kleinsten Quadrate minimiert S(a, b) = Σ(y_i − ax_i − b)². Aus den Normalgleichungen folgen Steigung a und Achsenabschnitt b; die Gerade geht durch (x̄, ȳ). Auf dem Bildschirm ist die gelbe Gerade die Schätzung, rote Strecken sind vertikale Residuen, die blaue ist die „wahre“ Gerade, um die die Punkte gestreut sind.

Häufige Fragen

Warum werden Residuen quadriert und nicht als Beträge genommen?: Das Quadrat bestraft große Abweichungen stärker, und die Funktion S(a, b) ist überall differenzierbar, daher liefern die Normalgleichungen eine explizite Lösung. Die Summe der Beträge (kleinste absolute Abweichungen) ist ebenfalls zulässig, verlangt aber gewöhnlich Iterationen und hat keine ebenso einfache Formel.
Warum geht die Gerade stets durch (x̄, ȳ)?: So sind die Normalgleichungen des einfachen linearen Modells gebaut: der Achsenabschnitt wird so gewählt, dass die mittlere Vorhersage mit dem Mittelwert der y-Werte übereinstimmt. Der Schwerpunkt der Stichprobe liegt auf der KQ-Geraden.
Wo braucht man das im Physikpraktikum?: Bei der Bestimmung von g aus verrauschten s(t), bei der Kalibrierung eines Sensors, bei der Prüfung eines linearen Gesetzes. Immer wenn man durch eine Punktewolke die Gerade „bester Annäherung“ legt, ist es meist die Methode der kleinsten Quadrate.
Wann lügt das lineare Modell?: Wenn der wahre Trend gekrümmt ist (Quadrat, Exponentialfunktion), liefert die Gerade einen systematischen Fehler. Das Modell setzt außerdem gleichbleibende Streuung in y und unabhängige Punkte voraus; bei Heteroskedastizität oder Ausreißern verschieben sich die Schätzungen.

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