Warum wirkt das Bild im chaotischen Bereich dick oder verwischt?

Chaotische Bahnen sind empfindlich gegen die Anfangswerte und füllen eine invariante Menge mit reicher Struktur. Viele Iterationen ergeben eine dichte Wolke; ein kurzer Vorlauf lässt Schwänze von x₀ stehen.

Was bedeutet die gestrichelte Linie bei r ≈ 3,57?

Das ist der näherungsweise Häufungspunkt r∞ der Periodenverdopplungskaskade: danach sind die Zyklen der Periode 2ⁿ insgesamt instabil, es herrscht verwickeltere Dynamik, obwohl innerhalb des Chaos periodische Fenster bleiben.

Ist das dasselbe Modell wie „Logistisches Wachstum“?

Verwandt, aber verschiedene Gegenstände: dort integriert man die Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K). Hier ist es eine diskrete Abbildung mit ähnlicher Nichtlinearität; gerade sie liefert Bifurkationen und Chaos.

Wozu ändert man Vorlaufschritte und die Zahl der Iterationen?

Der Vorlauf wirft den Weg zum Attraktor weg; ohne ihn sieht man Schwänze von x₀. Mehr Iterationen füllen das Diagramm dichter, belasten aber die Rechnung.

Bifurkationen der logistischen Abbildung

Abbildung xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ): waagerecht der Parameter r, senkrecht die Werte auf dem Attraktor. Sichtbar sind Periodenverdopplung und Chaos (Feigenbaum-Kaskade).

Zum Modell

Bifurkationen der logistischen Abbildung xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) sind das klassische Beispiel deterministischen Chaos in diskreter Zeit. Bei typischem Start und r von etwa 2 bis 4 bleibt die Bahn auf dem Intervall [0, 1]. Bei kleinem r gibt es einen stabilen Fixpunkt; wächst r, verliert er die Stabilität in einer Periodenverdopplung, danach verliert der 2-Zyklus die Stabilität, es erscheint ein 4-Zyklus und so weiter — die Feigenbaum-Kaskade. Nach der Häufung der Bifurkationen bei r∞ ≈ 3,569945… entstehen chaotische Bänder mit periodischen Fenstern. Bifurkationsdiagramm: für viele r waagerecht wirft man den Einschwingvorgang weg, danach trägt man die folgenden x senkrecht auf; die Helligkeit ist die Besuchshäufigkeit. Das ist ein anderer Gegenstand als das stetige logistische Wachstum dN/dt = rN(1 − N/K), wo in der skalaren autonomen Fassung kein Chaos auftritt.

Für wen: Dynamische Systeme und Chaos: Vergleich diskreter und stetiger logistischer Modelle.

Wichtige Begriffe

logistische abbildung
bifurkationsdiagramm
periodenverdopplung
feigenbaum-konstante
deterministisches chaos
attraktor
orbitdiagramm

So funktioniert es

Logistische Abbildung xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) auf dem Intervall [0, 1]: waagerecht der Parameter r, senkrecht die Werte x nach Vorlauf und langer Iteration. Die Helligkeit zeigt, wie oft die Bahn ein Pixel trifft. Sichtbar sind die Periodenverdopplungskaskade und Chaos; ein senkrechter Schnitt bei festem r ähnelt einem Orbitdiagramm. Die gestrichelte Linie ist r∞ ≈ 3,569945… (Häufung der Bifurkationen). Das stetige logistische Wachstum dN/dt ist verwandt, aber ein anderer Gegenstand.

Wichtige Gleichungen

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ), 0 ≤ x ≤ 1

Häufige Fragen

Warum wirkt das Bild im chaotischen Bereich dick oder verwischt?: Chaotische Bahnen sind empfindlich gegen die Anfangswerte und füllen eine invariante Menge mit reicher Struktur. Viele Iterationen ergeben eine dichte Wolke; ein kurzer Vorlauf lässt Schwänze von x₀ stehen.
Was bedeutet die gestrichelte Linie bei r ≈ 3,57?: Das ist der näherungsweise Häufungspunkt r∞ der Periodenverdopplungskaskade: danach sind die Zyklen der Periode 2ⁿ insgesamt instabil, es herrscht verwickeltere Dynamik, obwohl innerhalb des Chaos periodische Fenster bleiben.
Ist das dasselbe Modell wie „Logistisches Wachstum“?: Verwandt, aber verschiedene Gegenstände: dort integriert man die Gleichung dN/dt = rN(1 − N/K). Hier ist es eine diskrete Abbildung mit ähnlicher Nichtlinearität; gerade sie liefert Bifurkationen und Chaos.
Wozu ändert man Vorlaufschritte und die Zahl der Iterationen?: Der Vorlauf wirft den Weg zum Attraktor weg; ohne ihn sieht man Schwänze von x₀. Mehr Iterationen füllen das Diagramm dichter, belasten aber die Rechnung.

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