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Startseite/Mathematische Visualisierung/Phasenportrait (2D-DGL)

Phasenportrait (2D-DGL)

Richtungsfeld und Trajektorien per Klick: harmonisch, gedämpft, Sattel, Knoten, Strudel, Pendel (RK4).

Phasenebene

Klicken oder tippen Sie in die Zeichenfläche — die Lösung wird vorwärts und rückwärts in der Zeit integriert (RK4). R löscht alle Trajektorien.

1

Harmonisch: x′=y, y′=−ω²x. Dämpfung ergänzt −2ζωy. Sattel: x′=x, y′=−y. Stabiler Knoten: x′=−x, y′=−y; instabiler: x′=x, y′=y. Strudel sind feste lineare Spiralen. Pendel: x=θ, y=ω mit ω′=−sin θ.

Tastenkürzel

  • •R — alle Trajektorien löschen

Gemessene Größen

VorlageHarmonic
Trajektorien0

Zum Modell

Das Phasenportrait eines ebenen autonomen Systems zeigt den Zustand (x, y) ohne Zeitachse: wohin das Feld (f, g) bei x′ = f(x, y), y′ = g(x, y) zeigt. Das Gitter kurzer Pfeile ist das Richtungsfeld; die Länge ist normiert, damit man die Richtung liest, nicht den Betrag. Ein Klick setzt den Anfangspunkt; das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung integriert vorwärts und rückwärts, bis die Trajektorie das Fenster verlässt. Vorlagen: ungedämpfter harmonischer Oszillator (Zentrum, geschlossene Kurven), linearer Oszillator mit Dämpfung (ζ bestimmt die Spirale zum stabilen Strudel), Sattel, stabiler und instabiler Knoten, stabiler und instabiler Strudel, ideales Pendel θ′ = ω, ω′ = −sin θ (x ist der Winkel, y die Winkelgeschwindigkeit). Gleichgewichte sind gelbe Punkte. Bifurkationen, Nullklinen und die Suche nach Grenzzyklen fehlen: es ist das qualitative Bild in der Ebene.

Für wen: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme: Gleichgewichte, Linearisierung und qualitative Analyse vor den Graphen x(t).

Wichtige Begriffe

  • phasenebene
  • autonomes system
  • richtungsfeld
  • trajektorie
  • gleichgewicht
  • sattel
  • strudel
  • zentrum

So funktioniert es

Ebene (x, y) für das autonome System x′ = f(x, y), y′ = g(x, y): das Pfeilgitter ist das Richtungsfeld; ein Klick startet RK4 vorwärts und rückwärts vom gewählten Punkt. Vorlagen: harmonisch, Dämpfung (ζ), Sattel, Knoten, Strudel, Pendel θ′ = ω, ω′ = −sin θ. Beim Pendel heißen die Achsen θ und ω. Gelbe Punkte sind Gleichgewichte; R löscht alle Trajektorien.

Wichtige Gleichungen

x′ = f(x, y), y′ = g(x, y)
Harmonisch: x′ = y, y′ = −ω²x
Pendel: θ′ = ω, ω′ = −sin θ

Häufige Fragen

Warum bricht die Trajektorie am Fensterrand ab?
Die Integration stoppt, sobald der Zustand den etwas erweiterten Rahmen um die sichtbaren Achsen verlässt. So laufen die Rechnungen entlang instabiler Mannigfaltigkeiten des Sattels nicht ins Unendliche.
Warum sieht die Vorlage „Dämpfung“ bei ζ = 0 wie ein Zentrum aus?
Bei ζ = 0 fällt der lineare Teil mit dem ungedämpften harmonischen Oszillator zusammen (Skala ω). Jedes kleine ζ > 0 zerstört die geschlossenen Bahnen und ergibt eine Spirale zum Ursprung.
Was bedeuten die gelben Punkte?
Gleichgewichtslagen, wo f = g = 0. Der Ursprung ist bei den linearen Vorlagen markiert; beim Pendel zusätzlich die Winkel ±π, wo sin θ = 0.
Warum integriert man vom Klickpunkt vorwärts und rückwärts?
Damit man die ganze Bahn sieht: Vergangenheit und Zukunft. Beim Zentrum entsteht eine geschlossene Kurve; beim Sattel Äste, die in verschiedene Richtungen laufen.