Warum zieht sich die Zeichnung mit der Zeit zum Ursprung zusammen?

In jedem Summanden steht der Faktor e^{−δt}. Die Amplitude fällt — das ist das Modell der Reibung in den Aufhängungen. Bei δ = 0 würde die Spur nicht abklingen und dieselbe Lissajous-Figur wiederholen.

Worin unterscheidet sich der Harmonograph von Lissajous-Figuren?

Bei Lissajous steht auf jeder Achse eine ungedämpfte Harmonische, die Kurve ist geschlossen. Hier ist jede Achse die Summe zweier Harmonischer plus Dämpfung: die Schleifen fallen von Umlauf zu Umlauf nicht zusammen und wandern zum Ursprung.

Was bewirkt die Phase bei gleichen Frequenzen?

Wie bei Lissajous: die Differenz 0° gibt eine Strecke, 90° einen Kreis (bei gleichen Amplituden). Eine Verschiebung der einen Mischung gegen die andere dreht oder plattet die Rosette.

Harmonograph

Auf den Achsen x und y stehen Summen zweier gedämpfter Harmonischer. Bei kleiner Dämpfung Lissajous-Figuren; bei merklicher Dämpfung eine verklingende Rosette.

Zum Modell

Der Harmonograph zeichnet die Spur eines Punktes, dessen Koordinaten x und y jeweils Summen zweier gedämpfter Harmonischer sind: x(t) = A₁ e^{−δt} sin(ω₁ t + φ) + A₂ e^{−δt} sin(ω₂ t), und analog in y mit den Frequenzen ω₃, ω₄ und der Phase ψ. Bei verschwindender Dämpfung entstehen Lissajous-Figuren; bei δ > 0 fällt die Amplitude, und die Rosette zieht sich zum Ursprung zusammen. Die Frequenzverhältnisse bestimmen die Zahl der Blätter und Schleifen. Die Phasen φ und ψ drehen das Muster. Die Pendel eines realen Harmonographen sind leicht gekoppelt und verlieren Energie nicht streng nach einer einzigen Exponentialfunktion — hier sind die Oszillatoren unabhängig, die Dämpfung ist gemeinsam. Auf dem Schirm zieht der Punkt eine Spur; die Zeichengeschwindigkeit lässt sich ändern.

Für wen: Schwingungen und Parameterkurven: Superposition gedämpfter Harmonischer, Vergleich mit Lissajous-Figuren.

Wichtige Begriffe

harmonograph
gedämpfte schwingung
lissajous-figuren
kreisfrequenz
phasenverschiebung
superposition
parametergleichungen

So funktioniert es

Die Stiftkoordinaten sind Summen zweier gedämpfter Harmonischer in x und in y. Bei kleinem δ liegt die Spur nahe einer Lissajous-Figur; bei merklicher Dämpfung windet sich die Rosette zum Ursprung. Die Verhältnisse ω₁ : ω₂ und ω₃ : ω₄ setzen die Zahl der Schleifen; die Phasen φ und ψ drehen das Muster.

Häufige Fragen

Warum zieht sich die Zeichnung mit der Zeit zum Ursprung zusammen?: In jedem Summanden steht der Faktor e^{−δt}. Die Amplitude fällt — das ist das Modell der Reibung in den Aufhängungen. Bei δ = 0 würde die Spur nicht abklingen und dieselbe Lissajous-Figur wiederholen.
Worin unterscheidet sich der Harmonograph von Lissajous-Figuren?: Bei Lissajous steht auf jeder Achse eine ungedämpfte Harmonische, die Kurve ist geschlossen. Hier ist jede Achse die Summe zweier Harmonischer plus Dämpfung: die Schleifen fallen von Umlauf zu Umlauf nicht zusammen und wandern zum Ursprung.
Was bewirkt die Phase bei gleichen Frequenzen?: Wie bei Lissajous: die Differenz 0° gibt eine Strecke, 90° einen Kreis (bei gleichen Amplituden). Eine Verschiebung der einen Mischung gegen die andere dreht oder plattet die Rosette.

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